Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é uma equação de Bernoulli de grau
. Vamos usar o método de Bernoulli: passar para uma equação linear por meio da substituição apropriada.
Passo 2
Dividimos a equação por
(supondo
) para pôr na forma padrão
Passo 3
Reconhecemos que é uma equação de Bernoulli com
. Fazemos a troca
Então
Passo 4
Expressamos
em função de
. Da equação dividida temos
Dividindo por
e usando
dá
Logo a equação para
é
que é linear de coeficiente
.
Passo 5
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Passo 6
Integramos ambos os lados em
:
Passo 7
Voltando a
, como
, a solução geral é
Passo 8
Impondo a condição inicial
temos
Passo 9
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular
Resposta
que satisfaz
.