Resolva o problema de valor inicial
l x y^prime+y=x^2 y^2 y(1)=12

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x,y'+y = x^2y^2, y(1)=tfrac12,
que é uma equação de Bernoulli de grau n=2. Vamos usar o método de Bernoulli: passar para uma equação linear por meio da substituição apropriada.

Passo 2

Dividimos a equação por x (supondo xneq0) para pôr na forma padrão
y' + 1x,y = x,y^2

Passo 3

Reconhecemos que é uma equação de Bernoulli com n=2. Fazemos a troca
u = y^1-2 = y^-1
Então
u' = -y^-2,y'

Passo 4

Expressamos y' em função de u'. Da equação dividida temos
y' = x,y^2 - 1x,y
Dividindo por y^2 e usando u=y^-1
y'y^2 + 1x, yy^2 = x Longrightarrow -;u' + 1x,u = x
Logo a equação para u é
u' - 1x,u = -,x,
que é linear de coeficiente P(x)=-1/x.

Passo 5

O fator integrante é
mu(x) = e^integral -1x,dx = e^-ln|x| = 1x
Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
1x,u' - 1x^2,u = -1 Long<=ftrightarrow l( u xr)' = -1

Passo 6

Integramos ambos os lados em x:
u x = -,x + C Longrightarrow u = -,x^2 + C,x

Passo 7

Voltando a y, como u=1/y, a solução geral é
y(x) = 1u = 1C,x - x^2

Passo 8

Impondo a condição inicial y(1)=tfrac12 temos
1Ccdot1 - 1^2 = 12 Longrightarrow C - 1 = 2 Longrightarrow C = 3

Passo 9

Substituindo C=3 na solução geral, obtemos a solução particular
y(x) = 13x - x^2 = 1x(3 - x)

Resposta

y(x) = 1x(3 - x), xneq0,;xneq3,
que satisfaz y(1)=tfrac12.

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