Use a definição para encontrar f^{\prime}(x) de f(x)=\sqrt{2 x+3}.

Passo 1

O enunciado pede: usar a definição de derivada para encontrar f'(x) quando f(x)=\sqrt{2x+3}. Informações relevantes:
  • A função é f(x)=\sqrt{2x+3}.
  • O domínio de f é \{x\mid 2x+3\ge 0\}, isto é, x\ge -\tfrac{3}{2}.
  • Quero aplicar a definição de derivada pelo incremento: \displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Escrevo a definição e substituo f:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{2(x+h)+3}-\sqrt{2x+3}}{h}.
Note: se eu tentasse substituir h=0 diretamente, teria \tfrac{0}{0}, forma indeterminada. Então preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar o h no numerador.

Passo 3

Vou racionalizar o numerador multiplicando numerador e denominador pela conjugada \sqrt{2(x+h)+3}+\sqrt{2x+3}. Assim:
\frac{\sqrt{2(x+h)+3}-\sqrt{2x+3}}{h} =\frac{\big(\sqrt{2(x+h)+3}-\sqrt{2x+3}\big)\big(\sqrt{2(x+h)+3}+\sqrt{2x+3}\big)} {h\big(\sqrt{2(x+h)+3}+\sqrt{2x+3}\big)}.
No numerador aparece a diferença de quadrados, então:
\big(\sqrt{2(x+h)+3}\big)^2-\big(\sqrt{2x+3}\big)^2 =(2(x+h)+3)-(2x+3)=2h.
Portanto a fração simplifica para
\frac{2h}{h\big(\sqrt{2(x+h)+3}+\sqrt{2x+3}\big)} =\frac{2}{\sqrt{2(x+h)+3}+\sqrt{2x+3}}.

Passo 4

Agora tomo o limite quando h\to0. A função raiz quadrada é contínua onde definida, então \sqrt{2(x+h)+3}\to\sqrt{2x+3} quando h\to0. Logo
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{2}{\sqrt{2(x+h)+3}+\sqrt{2x+3}} =\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}.
Simplificando:
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}.

Passo 5

Interpretação e domínio da derivada: a expressão f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}} vale para todos os x em que a derivada existe, isto é para x>-\tfrac{3}{2}. No ponto extremo x=-\tfrac{3}{2} a derivada não existe (a razão tende a infinito à direita), então não se inclui esse ponto.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}} para x>-\tfrac{3}{2}

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