Use a definição para encontrar
de
.
Passo 1
O enunciado pede: usar a definição de derivada para encontrar
quando
. Informações relevantes:
- A função é
. - O domínio de
é , isto é, . - Quero aplicar a definição de derivada pelo incremento:
.
Passo 2
Escrevo a definição e substituo
:
Note: se eu tentasse substituir
diretamente, teria
, forma indeterminada. Então preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar o
no numerador.
Passo 3
Vou racionalizar o numerador multiplicando numerador e denominador pela conjugada
. Assim:
No numerador aparece a diferença de quadrados, então:
Portanto a fração simplifica para
Passo 4
Agora tomo o limite quando
. A função raiz quadrada é contínua onde definida, então
quando
. Logo
Simplificando:
Passo 5
Interpretação e domínio da derivada: a expressão
vale para todos os
em que a derivada existe, isto é para
. No ponto extremo
a derivada não existe (a razão tende a infinito à direita), então não se inclui esse ponto.