Um motor dá à engrenagem A uma aceleração angular de alphaA=(4 t^3) rad / s^2, onde t é dado em segundos. Se essa engrenagem está inicialmente girando a (omegaA)0=20 rad / s, determine a velocidade angular da engrenagem B quando t=2 s. Quantas voltas as engrenagens A e B realizaram nesse tempo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui! Temos um motor que está fazendo a engrenagem A acelerar angularmente de acordo com a fórmula , onde é o tempo em segundos. Inicialmente, essa engrenagem já tá girando com uma velocidade angular de . A gente precisa descobrir qual é a velocidade angular da engrenagem B quando e também quantas voltas as engrenagens A e B deram nesse tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática angular, que envolvem aceleração, velocidade e deslocamento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular da engrenagem A no tempo omegaA(t) = omegaA0 + integral0^t alphaA , dt . Sabemos que a aceleração angular omegaA(t) = 20 + integral0^2 4t^3 , dt é a derivada da velocidade angular integral 4t^3 , dt = 4 cdot t^44 = t^4 em relação ao tempo. Para achar omegaA(2) = 20 + [ (2)^4 - (0)^4 ] = 20 + (16 - 0) = 36 , rad/s , precisamos integrar em relação ao tempo.
A fórmula para a velocidade angular é:
Substituindo :
Vamos calcular essa integral:
Então, substituindo os limites de integração:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade angular da engrenagem B no mesmo tempo. Para isso, precisamos saber como as engrenagens A e B estão conectadas. Geralmente, se duas engrenagens estão engatadas, suas velocidades angulares estão relacionadas pelo inverso da relação de seus raios ou número de dentes. Porém, como não foi dada uma relação específica no problema, vamos assumir que as engrenagens A e B têm a mesma relação omegaB(2) = omegaA(2) = 36 , rad/s , ou seja, têm o mesmo número de dentes e, portanto, a mesma velocidade angular.
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular quantas voltas as engrenagens A e B deram nesse tempo. Para isso, precisamos encontrar o deslocamento angular theta = integral0^t omega(t) , dt em radianos e depois converter para voltas.
A fórmula para o deslocamento angular é:
thetaA = integral0^2 omegaA(t) , dt = integral0^2 (20 + 4t^3) dt = 20t + t^4 gr|0^2 = 20(2) + (2)^4 = 40 + 16 = 56 , rad
Para a engrenagem A:
Vo
Convertendo para voltas:
thetaB = 56 , rad Rightarrow Vo
Como assumimos que , o deslocamento angular de B será o mesmo:

Resposta

Quando , a velocidade angular da engrenagem B é de . Nesses 2 segundos, tanto a engrenagem A quanto a engrenagem B realizaram aproximadamente voltas cada uma.

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