QUESTÃO 3 (Valor 2,50 Pontos) - Seja uma distribuição volumar de carga esfericamente simétrica, a qual pode ser simulada por uma bola tridimensional B^3 de raio R. Suponha que a carga elétrica total da distribuição seja Q e sua densidade de carga dada por:
rho(r)=rho0 r^2R^2
para 0 <= r <= R, todavia para r>R, a densidade de carga é nula. Sendo assim, determine:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma distribuição de carga elétrica em uma bola tridimensional de raio rho(r) = rho0 r^2R^2 para 0 <= r <= R, . A carga total dessa distribuição é , e a densidade de carga varia com a distância do centro da bola, sendo dada por:
e para . Nosso objetivo aqui é determinar a constante em termos de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a carga total Q = integralVolume rho(r) , dV de uma distribuição de carga é obtida integrando a densidade de carga sobre todo o volume. Matemáticamente, isso é:
Como a distribuição é esfericamente simétrica, é mais fácil usar coordenadas esféricas para calcular essa integral.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, um elemento de volume dV = 4pi r^2 dr é dado por:
Q = integral0^R rho(r) cdot 4pi r^2 dr
Então, a integral para a carga total fica:
Q = integral0^R rho0 r^2R^2 cdot 4pi r^2 dr
Substituindo a expressão de :

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Q = 4pi rho0R^2 integral0^R r^4 dr
Calculando a integral de integral r^4 dr = r^55, :
Q = 4pi rho0R^2 [ R^55 - 0 ] = 4pi rho0 R^35
assim:

Passo 5

Agora, queremos encontrar Q = 4pi rho0 R^35 Rightarrow rho0 = 5Q4pi R^3 em termos de e . Vamos isolar :

Resposta

A constante rho0 = 5Q4pi R^3 é dada por:

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