QUESTÃO 3 (Valor 2,50 Pontos) - Seja uma distribuição volumar de carga esfericamente simétrica, a qual pode ser simulada por uma bola tridimensional
de raio R. Suponha que a carga elétrica total da distribuição seja Q e sua densidade de carga dada por:
para
, todavia para
, a densidade de carga é nula. Sendo assim, determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma distribuição de carga elétrica em uma bola tridimensional de raio
. A carga total dessa distribuição é
, e a densidade de carga
varia com a distância
do centro da bola, sendo dada por:
e
para
. Nosso objetivo aqui é determinar a constante
em termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a carga total
de uma distribuição de carga é obtida integrando a densidade de carga sobre todo o volume. Matemáticamente, isso é:
Como a distribuição é esfericamente simétrica, é mais fácil usar coordenadas esféricas para calcular essa integral.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, um elemento de volume
é dado por:
Então, a integral para a carga total fica:
Substituindo a expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Calculando a integral de
:
assim:
Passo 5
Agora, queremos encontrar
em termos de
e
. Vamos isolar
:
Resposta
A constante
é dada por: