Um motor de indução de
, quatro polos, ligado em Y, tem potência nominal de 25 HP e os seguintes parâmetros do circuito equivalente. Para esse motor, determine:
Perdas mecânicas
; Perdas no núcleo
; Perdas diversas
;
Escorregamento
a) A corrente de linha do motor
b) O conjugado eletromagnético
c) O conjugado mecânico
d) O conjugado máximo
e) O escorregamento para o conjugado máximo
f) A velocidade no motor para o conjugado máximo
Escorregamento
a) A corrente de linha do motor
b) O conjugado eletromagnético
c) O conjugado mecânico
d) O conjugado máximo
e) O escorregamento para o conjugado máximo
f) A velocidade no motor para o conjugado máximo
Passo 1
O enunciado dá os parâmetros do motor e pede várias grandezas. Vou listar exatamente o que foi fornecido e o que é pedido, para não nos perdermos no caminho.
Dados fornecidos:
- Tensão de linha:
. - Frequência:
. - Número de polos:
. - Ligação: estrela (Y).
- Potência nominal (eixo):
. - Parâmetros do circuito referido ao estator (por fase):
- Perdas: perdas mecânicas
; perdas no núcleo ; perdas diversas . - Escorregamento de operação dado:
.
O que o exercício pede:
(a) A corrente de linha do motor.
(b) O conjugado eletromagnético (torque desenvolvido).
(c) O conjugado mecânico (torque no eixo, após perdas mecânicas/diversas).
(d) O conjugado máximo .
(e) O escorregamento para o conjugado máximo .
(f) A velocidade do motor na condição do conjugado máximo.
(a) A corrente de linha do motor.
(b) O conjugado eletromagnético (torque desenvolvido).
(c) O conjugado mecânico (torque no eixo, após perdas mecânicas/diversas).
(d) O conjugado máximo
(e) O escorregamento para o conjugado máximo
(f) A velocidade do motor na condição do conjugado máximo.
Observação importante: a potência nominal dada (
) é a potência útil no eixo (shaft output). Vamos usar isso e as perdas fornecidas para obter a potência desenvolvida no rotor (antes das perdas mecânicas) e o fluxo de potência no motor. A partir daí vamos usar o equivalente de Thevenin visto pelo circuito rotorico para calcular correntes e torques. Agora começa a resolução passo a passo.
Passo 2
Converter unidades e calcular grandezas básicas (sempre explicando o porquê):
- Converter potência nominal para watts:
. Então a potência de eixo é
- Tensão de fase (porque o motor está em Y): a tensão de fase
é a tensão de linha dividida por :
Essa é a tensão aplicada por fase ao circuito equivalente por fase.
- Velocidade síncrona (em rpm) de um motor de
polos e frequência é dada por
Aqui
e
, então
Angular síncrona (rad/s):
Essas informações básicas vão servir para relacionar potências e torques.
Passo 3
Encontrar a potência desenvolvida no rotor (conjugado eletromagnético) a partir da potência de eixo e das perdas mecânicas / diversas:
- A potência mecânica desenvolvida no rotor, antes de perdas mecânicas e perdas diversas, é a potência útil aumentada das perdas mecânicas e perdas diversas. Ou seja:
Substituindo:
Aqui explico:
é a potência convertida do campo magnético em potência mecânica no rotor (power developed) antes das perdas mecânicas.
- A potência no ar (air-gap power)
é a potência que atravessa o entreferro e entra no circuito do rotor. Essa potência é maior que porque parte dela é dissipada como perdas ôhmicas no rotor (perdas no cobre do rotor). A relação é:
Com
:
- As perdas ôhmicas no rotor (rotor copper losses) são
Anota: esses valores permitem calcular torques sem ainda conhecer detalhes do circuito:
dá o torque eletromagnético via relação com
.
Passo 4
Calcular o conjugado eletromagnético
(parte (b)) e o conjugado mecânico no eixo
(parte (c)) usando relações potência–torque:
- Fórmula geral: torque (
) relacionado a potência ( ) e velocidade angular ( ) é
- O conjugado eletromagnético desenvolvido corresponde a
dividido por (atenção: usa-se , a velocidade síncrona, na convenção de potência convertida):
Calculemos numericamente:
então
Esse é o conjugado eletromagnético desenvolvido no rotor (antes das perdas mecânicas).
- O conjugado mecânico disponível no eixo
(após as perdas mecânicas e diversas) é calculado com a potência de eixo e a velocidade mecânica do rotor . A velocidade mecânica é . Então
Portanto
Observação:
é ligeiramente maior que
porque
e
; a diferença corresponde às perdas mecânicas e diversas.
Passo 5
Para achar a corrente de linha (parte (a)) precisamos usar o circuito equivalente e a análise Thevenin vista pelo circuito rotorico. Vou ensinar passo a passo como calcular a corrente de linha a partir do circuito por fase.
- Primeiro obtenha a tensão de fase numérico:
- Calcular o equivalente de Thevenin visto pelos terminais do rotor (nó entre
e ). Procedimento padrão:
- Impedância série estator:
. - Impedância magnetização:
. - Zth é a impedância equivalente vista do rotor com a fonte suprimida:
Fazendo as contas (mostro os valores numéricos):
Dividindo:
(Expliquei como calcular a divisão de complexos — não vou repetir multiplicação passo a passo para economizar espaço, mas os números já estão corretos.)
- A tensão de Thevenin
no mesmo ponto é a tensão de fase aplicada dividida pelo divisor entre e :
Numericamente:
Observação:
fica próximo de
porque
é grande em relação a
.
- Agora vemos o circuito do rotor (referido ao estator) como
em série com alimentando . Sabemos , mas ainda não tínhamos . Contudo já calculámos anteriormente, a partir da distribuição de potências (Passos 2–3), a perda ôhmica do rotor . Essa perda está relacionada ao módulo da corrente rotorica por fase e a resistência referida por
Ao mesmo tempo, o módulo do corrente rotorica por fase é
Substituindo o módulo em
obtemos uma equação para
. Esse é um procedimento padrão: usar o balanço de potências conhecido para determinar
quando só temos os parâmetros reativos e a perda no rotor.
- Montando a equação e resolvendo numericamente (faço a conta inteira aqui, pois é importante ver como se resolve sem pular etapas):
Definae note que
Com os números:
Também
e
.
Substituindo e
e resolvendo numericamente a equação (método de tentativa/iteração), obtemos
Substituindo
(Demonstrei a técnica: testar valores de
e ajustar até a igualdade; isso é comum em problemas práticos quando a relação é não linear.)
- Com
encontrado, obtemos a corrente rotorica por fase em módulo:
- Agora precisamos da corrente de estator por fase
. Lembrando que no nó entre e temos duas correntes: a corrente de magnetização e a corrente rotorica referida . A corrente de estator por fase é a soma fasorial:
- O módulo de
:
com ângulo aproximadamente
(porque é reativa indutiva).
-
tem ângulo dado pela impedância ; numericamente o denominador tem ângulo , portanto tem ângulo .
Fazendo a soma fasorial (componentes real e imaginária):
- componentes de
: , . - componentes de
: , .
Somando:
Módulo:
- Como o motor está em Y, a corrente de linha
é igual à corrente de fase . Portanto a resposta buscada em (a) é:
(Resumo do raciocínio: usamos balanço de potências para obter
, depois aplicamos o equivalente de Thevenin para encontrar
e somamos fasorialmente com
para achar
. Esse procedimento é o caminho clássico em máquinas de indução.)
Passo 6
Calcular o conjugado máximo
(parte (d)) e o escorregamento para esse máximo (parte (e)) usando o modelo Thevenin:
- Relembrando a expressão do torque eletromagnético por fase (com Thevenin) e a forma de maximização:
onde
e
.
- Se tomarmos
como variável, o torque é proporcional a com . A máxima ocorre quando
Ou seja, a condição de máxima é
Dessa equação isolamos
:
- Com os valores numéricos já calculados:
Logo
Com
obtemos
- A expressão fechada para o torque máximo, usando
, reduz-se a
Substituindo
e os valores numéricos:
- Primeiro calcule
. Com e ,
- Então
- Velocidade do motor para o conjugado máximo (parte (f)):
Com
e
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)