Sabendo-se que a potência que cruza o entreferro de um motor de indução de quatro polos é 25 kW e a potência eletromagnética é de 23,2 \mathrm{~kW}, determine:
a) O escorregamento
b) O conjugado induzido
c) O conjugado mecânico, assumindo que as perdas mecânicas são iguais a 300 W .

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede o que segue:
  • Potência que cruza o entreferro (potência ao entreferro): \;P_{ag}=25\\ \mathrm{kW}.
  • Potência eletromagnética (potência convertida do entreferro para forma mecânica, após perdas no rotor): \;P_{em}=23{,}2\\ \mathrm{kW}.
  • Motor de quatro polos.
  • Perdas mecânicas (atrito, ventilação etc.): \;P_{mec\_perdas}=300\\ \mathrm{W}.
Perguntas:
a) Determinar o escorregamento (s).
b) Determinar o conjugado induzido (torque eletromagnético produzido) (T_{ind}).
c) Determinar o conjugado mecânico na árvore (torque útil) (T_{mec}), assumindo as perdas mecânicas dadas.
Observação importante (assunção necessária): o enunciado não informou a frequência da rede. Para obter velocidades (rpm / rad/s) uso a suposição usual em muitos exercícios teóricos: frequência \;f=50\\ \mathrm{Hz}, o que dá velocidade síncrona para 4 polos igual a \;n_s=1500\\ \mathrm{rpm}. Vou explicitar sempre de onde veio cada número.

Passo 2

Calcular o escorregamento s.
Conceito e fórmula: a potência que cruza o entreferro \;P_{ag} se distribui em duas parcelas: perdas elétricas no rotor (perdas de cobre do rotor) iguais a s\,P_{ag} e potência convertida em forma mecânica (potência eletromagnética) igual a (1-s)\,P_{ag}. Assim
P_{em}=(1-s)\,P_{ag}.
Isolando s,
s=1-\frac{P_{em}}{P_{ag}}.
Substituindo os valores (lembre que \;P_{ag}=25\\ \mathrm{kW}=25000\\ \mathrm{W} e \;P_{em}=23{,}2\\ \mathrm{kW}=23200\\ \mathrm{W}):
s=1-\frac{23200}{25000}=1-0{,}928=0{,}072.
Convertendo em porcentagem:
s=0{,}072=7{,}2\%.
Também é útil calcular explicitamente as perdas no rotor (chegam por diferença):
P_{rotor\_ perdas}=P_{ag}-P_{em}=25000-23200=1800\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Determinar o conjugado induzido T_{ind}.
Conceito e fórmulas úteis:
  • Velocidade síncrona (em rpm) para motor com P polos e frequência f é
n_s=\frac{120\,f}{P}.
  • Converter rpm para velocidade angular (rad/s): \omega=\dfrac{2\pi n}{60}.
  • Relação entre potência ao entreferro e torque: a potência que cruza o entreferro pode ser escrita como torque vezes velocidade síncrona:
P_{ag}=T_{ind}\,\omega_s,
onde \omega_s é a velocidade angular síncrona. (Explicação: é uma forma conveniente e usual de relacionar potência que atravessa o campo girante ao torque produzido; outra forma equivalente é usar P_{em}=T_{ind}\,\omega_m com \omega_m velocidade do rotor — ambas conduzem ao mesmo valor de torque.)
Calculemos n_s e \omega_s com a suposição \;f=50\\ \mathrm{Hz} e P=4:
n_s=\frac{120\cdot 50}{4}=1500\\ \mathrm{rpm}.
Convertemos para rad/s:
\omega_s=\frac{2\pi n_s}{60}=2\pi\cdot 25=50\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Agora usamos T_{ind}=P_{ag}/\omega_s. Em unidades consistentes:
T_{ind}=\frac{25000}{50\pi}=\frac{500}{\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Valor numérico (aproximando \pi\approx 3{,}14159):
T_{ind}\approx 159{,}2\\ \mathrm{N\cdot m}.
Observação (verificação didática): se usássemos a fórmula alternativa T_{ind}=P_{em}/\omega_m com \omega_m=(1-s)\omega_s, obteríamos o mesmo valor numérico. Para checar rapidamente: n_m=(1-s)n_s=0{,}928\cdot 1500=1392\\ \mathrm{rpm}, \omega_m=2\pi\cdot 23{,}2=46{,}4\pi\\ \mathrm{rad/s}, então T_{ind}=23200/(46{,}4\pi)=500/\pi, igual ao anterior.

Passo 4

Determinar o conjugado mecânico T_{mec} na árvore considerando as perdas mecânicas.
Conceito: o torque mecânico útil na árvore é obtido a partir da potência útil de saída (potência eletromagnética menos perdas mecânicas) dividida pela velocidade angular do rotor:
P_{out}=P_{em}-P_{mec\_perdas},
T_{mec}=\frac{P_{out}}{\omega_m}.
Calculando P_{out}:
P_{out}=23200-300=22900\\ \mathrm{W}.
Já temos \omega_m=(1-s)\omega_s=46{,}4\pi\\ \mathrm{rad/s} (do Passo 3). Assim
T_{mec}=\frac{22900}{46{,}4\pi}.
Valor numérico:
T_{mec}\approx 157{,}2\\ \mathrm{N\cdot m}.
(Interpretação: o torque na árvore é um pouco menor que o torque eletromagnético porque parte da potência convertida é consumida pelas perdas mecânicas, reduzindo o torque útil.)

Resposta

a) s=0{,}072=7{,}2\%
b) T_{ind}=159{,}2\\ \mathrm{N\cdot m}
c) T_{mec}=157{,}2\\ \mathrm{N\cdot m}

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