Um motor de indução trifásico, 20 \mathrm{HP}, 400 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, 4 pólos, desenvolve plena carga com escorregamento de 5 \%. As perdas mecânicas (rotacionais) são 400 W . Calcule:
a) O conjugado eletromagnético
b) O conjugado no eixo
c) A perda no cobre do rotor

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede 3 coisas.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Potência nominal (plena carga): }20\\ \mathrm{HP}\\\ &\text{Tensão: }400\\ \mathrm{V}\\\ &\text{Frequência: }60\\ \mathrm{Hz}\\\ &\text{Número de polos: }4\\\ &\text{Escorregamento em plena carga: }s=5\%\\\ &\text{Perdas mecânicas (rotacionais): }P_{\text{mec}}=400\\ \mathrm{W} \end{aligned}êãêúâ
Perguntas (o que precisamos calcular):
a) O conjugado eletromagnético (torque eletromagnético) T_e.
b) O conjugado no eixo (torque disponível no eixo) T_{\text{eixo}}.
c) A perda no cobre do rotor P_{\text{Cu,rotor}}.
Observação: a potência em HP costuma representar a potência entregue no eixo (potência mecânica de saída). Vou usar isso para as contas (ou seja, 20\\ \mathrm{HP} = potência de eixo).

Passo 2

Primeiro convertemos a potência de 20\\ \mathrm{HP} para watts (para trabalhar em unidades SI). A conversão padrão é 1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}. Logo:
P_{\text{eixo}} = 20\\ \mathrm{HP} = 20\cdot 746 = 14920\\ \mathrm{W}.
Aqui usei o dado do enunciado 20\\ \mathrm{HP} e a conversão conhecida.

Passo 3

Calculamos a velocidade síncrona e a velocidade do rotor em rpm.
A velocidade síncrona em rpm é dada por
N_s = \frac{120\cdot f}{\text{nº polos}}.º
Substituindo f=60\\ \mathrm{Hz} e 4 polos:
N_s = \frac{120\cdot 60}{4} = 1800\\ \text{rpm}.
A velocidade do rotor N (em rpm) é
N = (1-s)\,N_s.
Com s=0{,}05:
N = 0{,}95\cdot 1800 = 1710\\ \text{rpm}.

Passo 4

Convertendo a velocidade do rotor para velocidade angular mecânica \omega_m (rad/s), usamos
\omega_m = \frac{2\pi N}{60}.
Substituindo N=1710\\ \text{rpm}:
\omega_m = \frac{2\pi\cdot 1710}{60} = 57\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 179{,}070781\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação curta: \omega_m é a velocidade angular do eixo; para relacionar potência mecânica e torque usamos P = T\cdot \omega.

Passo 5

Relacionamento das potências no motor de indução (ideia fundamental, explicada de forma simples):
  • A potência transferida pelo campo através do entreferro é chamada de potência no entreferro (ou potência do ar-gap) P_{ag}.
  • Do que atravessa o entreferro, uma fração s é dissipada como perdas no cobre do rotor P_{\text{Cu,rotor}}.
  • O restante, (1-s)P_{ag}, aparece como potência desenvolvida pelo motor (potência mecânica interna que tende a girar o eixo), que chamaremos P_{\text{dev}}.
  • Das P_{\text{dev}} subtrai-se as perdas mecânicas P_{\text{mec}} (atrito, ventilação, etc.) para obter a potência entregue no eixo P_{\text{eixo}}.
Matematicamente:
\begin{aligned} &P_{\text{dev}} = (1-s)\,P_{ag},\\\ &P_{\text{Cu,rotor}} = s\,P_{ag},\\\ &P_{\text{eixo}} = P_{\text{dev}} - P_{\text{mec}}. \end{aligned}
Por isso, para achar P_{ag} primeiro reescrevemos
P_{\text{dev}} = P_{\text{eixo}} + P_{\text{mec}}.
Usando P_{\text{eixo}}=14920\\ \mathrm{W} e P_{\text{mec}}=400\\ \mathrm{W}:
P_{\text{dev}} = 14920 + 400 = 15320\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Agora calculamos a potência no entreferro P_{ag} a partir de P_{\text{dev}}=(1-s)P_{ag}. Assim:
P_{ag} = \frac{P_{\text{dev}}}{1-s} = \frac{15320}{1-0{,}05} = \frac{15320}{0{,}95}.
Fazendo a divisão:
P_{ag} \approx 16126{,}3158\\ \mathrm{W}.
Explicação do porquê: essa conta reflete que 5\% da potência que atravessa o entreferro é dissipada no rotor (perda ôhmica), então a potência total no entreferro é maior que a potência desenvolvida internamente.

Passo 7

Calculamos a perda no cobre do rotor usando P_{\text{Cu,rotor}} = s\,P_{ag}:
P_{\text{Cu,rotor}} = 0{,}05\cdot 16126{,}3158 \approx 806{,}3158\\ \mathrm{W}.
Interpretação: essa é a potência dissipada por aquecimento nas barras/espiras do rotor devido à corrente induzida.

Passo 8

Agora calculamos o conjugado eletromagnético T_e. O torque eletromagnético é a potência desenvolvida dividida pela velocidade angular do rotor:
T_e = \frac{P_{\text{dev}}}{\omega_m}.
Substituindo P_{\text{dev}}=15320\\ \mathrm{W} e \omega_m=57\pi\\ \mathrm{rad/s}:
T_e = \frac{15320}{57\pi}\\ \mathrm{N\cdot m} \approx 85{,}553\\ \mathrm{N\cdot m}.
Breve explicação física: T_e é o torque “gerado” pelo campo magnético sobre o rotor antes das perdas mecânicas; é esse torque que, multiplicado pela velocidade angular, fornece a potência interna P_{\text{dev}}.

Passo 9

O conjugado no eixo T_{\text{eixo}} é o torque que realmente sai no eixo e corresponde à potência útil P_{\text{eixo}} dividida por \omega_m:
T_{\text{eixo}} = \frac{P_{\text{eixo}}}{\omega_m} = \frac{14920}{57\pi}\\ \mathrm{N\cdot m} \approx 83{,}319\\ \mathrm{N\cdot m}.
Relação entre os torques: a diferença T_e - T_{\text{eixo}} corresponde ao torque equivalente perdido devido às perdas mecânicas convertidas em potência P_{\text{mec}} (pois P_{\text{mec}} = (T_e - T_{\text{eixo}})\,\omega_m).

Resposta

T_e \approx 85{,}55\\ \mathrm{N\cdot m}
T_{\text{eixo}} \approx 83{,}32\\ \mathrm{N\cdot m}
P_{\text{Cu,rotor}} \approx 806{,}32\\ \mathrm{W}

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