Um motor de indução 3 \varnothing, ligado em Y, 220 volts, 60 \mathrm{~Hz}, 6 pólos, tem os seguintes parâmetros em \Omega / fase, referidas ao estator:
r_{1}=0,294 r^{\prime}{ }_{2}=0,144 x_{m}=13,25
x_{1}=0,503 x^{\prime}{ }_{2}=0,109 r_{P}=136,8
As perdas totais, por atrito, ventilação e no ferro podem ser consideradas constantes valendo 403 watts, independente da carga.
Para um escorregamento de 2 \%, calcular:
a) Velocidade do rotor
b) Potência de saída
c) Corrente no estator
d) Fator de potência
e) Rendimento

Passo 1

O enunciado dá um motor trifásico ligado em Y com os seguintes dados (todos por fase, referidos ao estator, e em \Omega/fase salvo indicação contrária):
\begin{aligned} &\text{Tensão de linha: }220\\ \text{V (Y)}\\\ &\text{Frequência: }60\\ \text{Hz}\\\ &\text{Pólos: }6\\\ & r_1=0,294,\quad x_1=0,503,\\\ & r'_2=0,144,\quad x'_2=0,109,\\\ & x_m=13,25,\quad r_P=136,8\\\ &\text{Perdas constantes (atrito+ventilação+ferro): }403\\ \text{W (total)} \end{aligned}ãêóçã
O que o enunciado pede, para escorregamento s=2\%=\!0,02:
a) velocidade do rotor;
b) potência de saída (no eixo);
c) corrente no estator (módulo e, se preciso, fasor);
d) fator de potência;
e) rendimento.
Informações úteis que já extraí do enunciado (serão usadas na resolução): tensão de fase (porque ligação em Y) e que a resistência r_P modela perdas no ferro (perda no núcleo). Não foram enviadas figuras adicionais.

Passo 2

Breve explicação do circuito elétrico e das fórmulas que vou usar (aula rápida e prática):
  • O circuito equivalente por fase (referido ao estator) tem a série r_1+jx_1 seguida por um paralelo contendo a impedância do rotor referida r'_2/s + jx'_2 e o ramo magnetizante composto por r_P (perdas no ferro) em paralelo com j x_m. É o circuito padrão de motor de indução.
  • Tensão de fase: em ligação Y, \displaystyle V_{\text{f}}=\frac{V_{\text{L}}}{\sqrt{3}}. Aqui V_{\text{L}}=220\\ \text{V}.
  • Corrente de estator por fase (fasor): \displaystyle I_1=\frac{V_{\text{f}}}{Z_{\text{in}}}, onde Z_{\text{in}}=r_1+jx_1+Z_p e Z_p é a impedância equivalente do paralelo \big(r_P\parallel jx_m\parallel (r'_2/s+jx'_2)\big).
  • Corrente no ramo rotor referido: \displaystyle I'_2=\frac{V_p}{r'_2/s+jx'_2}, onde V_p é a tensão no ponto após r_1+jx_1 (outra forma: primeiro calculamos Z_p e então V_p=V_f\frac{Z_p}{Z_{\text{in}}}).
  • Potência elétrica de entrada (trifásica): \displaystyle P_{\text{in}}=3 V_{\text{f}} I_1 \cos\varphi, onde \varphi é o ângulo entre V_{\text{f}} e I_1.
  • Potência transferida ao rotor (potência ao longo do entreferro, por fase): \displaystyle P_{ag,\text{ph}}=|I'_2|^2\cdot\frac{r'_2}{s}. Trifásica: P_{ag}=3P_{ag,\text{ph}}.
  • Perdas por cobre no rotor (trifásica): P_{r2}=3\cdot|I'_2|^2 r'_2.
  • Potência mecânica desenvolvida no eixo antes das perdas mecânicas: P_{\text{dev}}=P_{ag}-P_{r2} (equivalente a P_{dev}=3|I'_2|^2 r'_2\frac{1-s}{s}).
  • As perdas no ferro por fase podem ser calculadas por P_{Fe,\text{ph}}=|I_{rP}|^2 r_P, onde I_{rP} é a corrente no ramo r_P. O enunciado diz que a soma atrito+ventilação+ferro é 403\\ \text{W}, então uma vez que eu calcule a perda no ferro a partir de r_P (pela corrente naquele ramo), a diferença 403-P_{Fe} será a perda por atrito+ventilação (constante).
  • Potência de saída no eixo (nominal, a ser encontrada): P_{\text{out}}=P_{\text{dev}}-(\text{atrito+ventilação})çã.
  • Rendimento: \eta=\dfrac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}.
Agora aplico passo a passo os cálculos numéricos, mostrando como montar cada expressão e porquê.

Passo 3

Cálculo da velocidade síncrona e da velocidade do rotor (item a):
  • Fórmula da velocidade síncrona em rpm: \displaystyle n_s=\frac{120\,f}{p}, onde f é a frequência (Hz) e p é o número de polos.
  • Aqui \displaystyle n_s=\frac{120\cdot 60}{6}=1200\\ \text{rpm}.
  • Velocidade do rotor para escorregamento s: \displaystyle n=(1-s)n_s. Com s=0,02,
n=(1-0,02)\cdot 1200=0,98\cdot 1200=1176\\ \text{rpm}.

Passo 4

Tensão de fase (pré-requisito para os cálculos do circuito):
  • Em ligação Y, \displaystyle V_{\text{f}}=\frac{220}{\sqrt{3}}.
  • Numérico: \displaystyle V_{\text{f}}= \frac{220}{\sqrt{3}}\approx 127,02\\ \text{V}.

Passo 5

Montagem do ramo rotor referido (impedância do rotor por fase) para s=0,02:
Z_2'=\frac{r'_2}{s}+j x'_2=\frac{0,144}{0,02}+j\,0,109=7{,}2+j\,0{,}109\\ \Omega.
Explico: \frac{r'_2}{s} é a resistência que aparece no ramo do rotor quando se traz o circuito ao estator; tem a parte real aumentada pela divisão pelo escorregamento.

Passo 6

Cálculo das admitâncias dos três ramos em paralelo (para obter Z_p):
  • Admitância de r_P: \displaystyle Y_{rP}=\frac{1}{r_P}=\frac{1}{136{,}8}=0{,}007310\\ \text{S}.
  • Admitância do reatância magnetizante j x_m: \displaystyle Y_{x_m}=\frac{1}{j x_m}=-j\frac{1}{x_m}=-j\,0{,}0754717\\ \text{S}. (corrente indutiva com componente imaginária negativa na notação G+jB).
  • Admitância do ramo rotor: \displaystyle Y_2=\frac{1}{7{,}2+j0{,}109}. Faço a inversão:
Y_2=\frac{7{,}2}{7{,}2^2+0{,}109^2}-j\frac{0{,}109}{7{,}2^2+0{,}109^2} \approx 0{,}138847 - j\,0{,}002101\\ \text{S}.
  • Soma das admitâncias do paralelo:
Y_p=Y_{rP}+Y_{x_m}+Y_2 \approx 0{,}007310 + 0{,}138847 + j(-0{,}075472 -0{,}002101) \approx 0{,}146157 - j\,0{,}077573\\ \text{S}.
  • Portanto a impedância equivalente do paralelo é
Z_p=\frac{1}{Y_p}=\frac{1}{0{,}146157-j\,0{,}077573}\approx 5{,}339 + j\,2{,}834\\ \Omega.
Observação didática: para inverter G+jB use \dfrac{1}{G+jB}=\dfrac{G-jB}{G^2+B^2}.

Passo 7

Impedância de entrada por fase Z_{\text{in}} e corrente no estator I_1 (item c parcialmente):
  • Serie com r_1+jx_1:
Z_{\text{in}}=r_1+jx_1+Z_p=(0{,}294+j0{,}503)+(5{,}339+j2{,}834)=5{,}633 + j\,3{,}337\\ \Omega.
  • Módulo de Z_{\text{in}}:
|Z_{\text{in}}|=\sqrt{5{,}633^2+3{,}337^2}\approx 6{,}5486\\ \Omega.
  • Corrente de fase (que em Y é igual à corrente de linha): \displaystyle I_1=\frac{V_{\text{f}}}{Z_{\text{in}}}. Em módulo,
|I_1|=\frac{127{,}02}{6{,}5486}\approx 19{,}397\\ \text{A}.
  • Ângulo entre tensão e corrente (corrente defasada): \varphi=\angle Z_{\text{in}}=\arctan\!\left(\frac{3{,}337}{5{,}633}\right)\approx 30{,}60^\circ. A corrente atrasa a tensão por \varphi.
Até aqui respondemos o item (c) quanto ao módulo: \boxed{|I_1|\approx 19{,}40\\ \text{A}}. Mas ainda usarei o fasor para potências e fator de potência.

Passo 8

Tensão no paralelo V_p (tensão após r_1+jx_1) — preciso dela para achar I'_2 e correntes nos ramos:
  • Divisor de tensões (ou relação de impedâncias):
V_p = V_{\text{f}}\cdot\frac{Z_p}{Z_{\text{in}}}.
  • Fazendo a divisão complexa obtemos (cálculo numérico):
V_p \approx 117{,}24 - j\,5{,}536\\ \text{V},
com módulo |V_p|\approx 117{,}35\\ \text{V}.
Explicação prática: V_p é a tensão que “vê” o paralelo onde estão r_P, j x_m e o ramo rotor; com isso posso calcular as correntes desses ramos.

Passo 9

Corrente no ramo rotor referido I'_2 (essa corrente é crucial para potência desenvolvida):
  • \displaystyle I'_2=\frac{V_p}{Z'_2}=\frac{117{,}24 - j5{,}536}{7{,}2+j0{,}109}.
  • Fazendo a divisão complexa, obtemos o fasor
I'_2\approx 16{,}268 - j\,1{,}015\\ \text{A},
portanto |I'_2|\approx 16{,}31\\ \text{A}.
Comentário didático: I'_2 é a corrente referida ao estator que circula no “lado rotor” do circuito equivalente. A potência que “entra” no rotor é ligada a essa corrente.

Passo 10

Potências relacionadas ao rotor e potência desenvolvida (item b):
  • Potência por fase transferida ao rotor (potência do entreferro):
P_{ag,\text{ph}}=|I'_2|^2\cdot\frac{r'_2}{s}.
Numericamente:
|I'_2|^2\approx (16{,}309)^2\approx 265{,}69,
\frac{r'_2}{s}=\frac{0{,}144}{0{,}02}=7{,}2\\ \Omega,
P_{ag,\text{ph}}\approx 265{,}69\cdot 7{,}2\approx 1912{,}99\\ \text{W}.
Trifásico:
P_{ag}=3\cdot 1912{,}99\approx 5738{,}97\\ \text{W}.
  • Perdas por cobre no rotor (trifásica):
P_{r2}=3\cdot |I'_2|^2 r'_2=3\cdot 265{,}69\cdot 0{,}144\approx 114{,}73\\ \text{W}.
  • Potência mecânica desenvolvida pelo rotor (antes das perdas mecânicas):
P_{\text{dev}}=P_{ag}-P_{r2}\approx 5738{,}97-114{,}73\approx 5624{,}24\\ \text{W}.

Passo 11

Perdas no ferro (núcleo) e inércia/ventilação: uso r_P e a informação das perdas constantes:
  • Corrente no ramo r_P: I_{rP}=\dfrac{V_p}{r_P}. Numericamente:
I_{rP}\approx \frac{117{,}24-j5{,}536}{136{,}8}\approx 0{,}8570 - j\,0{,}0405\\ \text{A},
|I_{rP}|^2\approx 0{,}73616.
  • Perda no ferro por fase:
P_{Fe,\text{ph}}=|I_{rP}|^2 r_P\approx 0{,}73616\cdot 136{,}8\approx 100{,}71\\ \text{W}.
Trifásica:
P_{Fe}=3\cdot 100{,}71\approx 302{,}14\\ \text{W}.
  • O enunciado afirma que atrito+ventilação+ferro totalizam 403\\ \text{W}. Portanto a perda por atrito+ventilação é:
P_{fw}=403 - P_{Fe}\approx 403 -302{,}14\approx 100{,}86\\ \text{W}.
Comentário: se não tivéssemos r_P não conseguiríamos separar ferro de atrito+ventilação; aqui usamos r_P para achar quanto do total é ferro e o restante é ventilação/atrito.

Passo 12

Potência de saída no eixo (item b, continuação):
  • Potência de saída (no eixo), subtraindo as perdas mecânicas (atrito+ventilação) da potência desenvolvida:
P_{\text{out}}=P_{\text{dev}}-P_{fw}\approx 5624{,}24 - 100{,}86 \approx 5523{,}38\\ \text{W}.
Portanto a potência de saída é aproximadamente 5{,}523\\ \text{kW}.

Passo 13

Potência de entrada, fator de potência e rendimento (itens c, d, e):
  • Potência de entrada trifásica:
P_{\text{in}}=3 V_{\text{f}} |I_1| \cos\varphi.
Já tínhamos |I_1|\approx 19{,}397\\ \text{A} e \varphi\approx 30{,}60^\circ (corrente atrasa). Então
P_{\text{in}}\approx 3\cdot 127{,}02\cdot 19{,}397\cdot\cos(30{,}60^\circ)\approx 6366{,}43\\ \text{W}.
  • Fator de potência (item d):
\text{pf}=\cos\varphi\approx \cos(30{,}60^\circ)\approx 0{,}8615\\ (\text{atraso}).
  • Rendimento (item e):
\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}\approx\frac{5523{,}38}{6366{,}43}\approx 0{,}8674\approx 86{,}74\%.

Passo 14

Resumo dos resultados numéricos (arredondados com 3 dígitos significativos onde aplicável) que respondem diretamente às questões pedidas:
  • a) n=1176\\ \text{rpm}.
  • b) P_{\text{out}}\approx 5523{,}4\\ \text{W}.
  • c) |I_1|\approx 19{,}40\\ \text{A}.
  • d) \text{pf}\approx 0{,}8615 (atraso).
  • e) \eta\approx 86{,}74\%.

Resposta

a) 1176\\ \text{rpm}
b) 5523{,}4\\ \text{W}
c) 19{,}40\\ \text{A}
d) 0{,}8615 (atraso)
e) 86{,}74\%

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