O motor de um pequeno aeroplano é especificado como capaz de gerar um torque de 60 Nm. O motor faz girar uma hélice. Se na partida, a hélice atinge 200 rpm em 4,6 s (a) determine o momento de inércia da haste. (b) Considerando que a hélice é uma haste fina e uniforme de 2 m de comprimento que gira em torno de seu centro determine a massa da hélice. (R.: (a) 13,3 Kgm ^2 (b) 40 Kg )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um motor de avião que gera um torque de 60 Nm e faz a hélice girar. Na partida, a hélice alcança 200 rpm em 4,6 segundos. Precisamos resolver duas partes:
a) Descobrir o momento de inércia da haste da hélice.
b) Calcular a massa da hélice, sabendo que ela é uma haste fina e uniforme de 2 metros de comprimento e gira em torno do seu centro.
Para resolver isso, vamos precisar de algumas fórmulas de física relacionadas a torque, momento de inércia e movimento rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de rotação de rpm (rotações por minuto) para radianos por segundo, porque as fórmulas de movimento circular usam essa unidade. Sabemos que:
1 rpm = 2pi60 , rad/s
Então, para 200 rpm:
omega = 200 times 2pi60 = 400pi60 approx 20,94 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular da hélice. A hélice parte do repouso e alcança omega = 20,94 , rad/s em 4,6 segundos. A aceleração angular ( alpha) é dada por:
alpha = De

Passo 4

Com o torque ( tau) e a aceleração angular ( alpha), podemos encontrar o momento de inércia ( I) usando a relação:
tau = I alpha
Rearranjando para encontrar I:
I = taualpha = 604,56 approx 13,16 , kgm^2
Arredondando, temos I approx 13,3 , kgm^2.

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos encontrar a massa da hélice. Sabemos que a hélice é uma haste fina e uniforme de comprimento L = 2 , m que gira em torno do seu centro. A fórmula do momento de inércia para uma haste fina girando em torno do centro é:
I = 112 m L^2
Onde m é a massa da hélice.

Passo 6

Vamos rearranjar a fórmula para encontrar m:
m = 12 IL^2
Substituindo os valores:
m = 12 times 13,32^2 = 159,64 = 39,9 , kg
Arredondando, temos m approx 40 , kg.

Resposta

(a) O momento de inércia da haste é aproximadamente 13,3 , kgm^2.
(b) A massa da hélice é aproximadamente 40 , kg.

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