O motor de um pequeno aeroplano é especificado como capaz de gerar um torque de 60 Nm. O motor faz girar uma hélice. Se na partida, a hélice atinge 200 rpm em 4,6 s (a) determine o momento de inércia da haste. (b) Considerando que a hélice é uma haste fina e uniforme de 2 m de comprimento que gira em torno de seu centro determine a massa da hélice. (R.: (a) 13,3 Kgm
(b) 40 Kg )
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um motor de avião que gera um torque de 60 Nm e faz a hélice girar. Na partida, a hélice alcança 200 rpm em 4,6 segundos. Precisamos resolver duas partes:
a) Descobrir o momento de inércia da haste da hélice.
b) Calcular a massa da hélice, sabendo que ela é uma haste fina e uniforme de 2 metros de comprimento e gira em torno do seu centro.
a) Descobrir o momento de inércia da haste da hélice.
b) Calcular a massa da hélice, sabendo que ela é uma haste fina e uniforme de 2 metros de comprimento e gira em torno do seu centro.
Para resolver isso, vamos precisar de algumas fórmulas de física relacionadas a torque, momento de inércia e movimento rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade de rotação de rpm (rotações por minuto) para radianos por segundo, porque as fórmulas de movimento circular usam essa unidade. Sabemos que:
Então, para 200 rpm:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração angular da hélice. A hélice parte do repouso e alcança
em 4,6 segundos. A aceleração angular (
) é dada por:
Passo 4
Com o torque (
) e a aceleração angular (
), podemos encontrar o momento de inércia (
) usando a relação:
Rearranjando para encontrar
:
Arredondando, temos
.
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos encontrar a massa da hélice. Sabemos que a hélice é uma haste fina e uniforme de comprimento
que gira em torno do seu centro. A fórmula do momento de inércia para uma haste fina girando em torno do centro é:
Onde
é a massa da hélice.
Passo 6
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Substituindo os valores:
Arredondando, temos
.
Resposta
(a) O momento de inércia da haste é aproximadamente
.
(b) A massa da hélice é aproximadamente .
(b) A massa da hélice é aproximadamente