O motor de um pequeno aeroplano é especificado como capaz de gerar um torque de 60 N.m. O motor faz girar uma hélice com pás de
de comprimento e massa de 40 kg . Na partida, quanto tempo leva para a hélice atingir 200 rpm ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um motor de avião que pode gerar um torque de 60 N.m, e ele está girando uma hélice com pás que têm 2 metros de comprimento e uma massa total de 40 kg. A pergunta é: quanto tempo a hélice leva para atingir 200 rotações por minuto (rpm) a partir do repouso? Vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e mecanica rotacional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é torque. Torque é a força que faz algo girar. No nosso caso, o motor gera um torque de 60 N.m para girar a hélice.
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia (I) da hélice. O momento de inércia é uma medida de quão difícil é mudar a velocidade de rotação de um objeto. Para uma massa concentrada a uma distância r do centro de rotação, a fórmula é:
Onde:
- $ m $ é a massa (40 kg)
- $ r $ é o raio (2,0 m)
Então,
Passo 4
Com o momento de inércia calculado, podemos encontrar a aceleração angular ($ \alpha $) usando a fórmula:
Onde:
- $ \tau $ é o torque (60 N.m)
- $ I $ é o momento de inércia (160 kg·m²)
Então,
Passo 5
Agora, precisamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque trabalhamos com a aceleração angular em rad/s². A conversão é:
Para 200 rpm:
Passo 6
Finalmente, podemos encontrar o tempo necessário para a hélice atingir essa velocidade usando a relação entre aceleração angular, velocidade angular e tempo:
Queremos resolver para $ t $:
Substituindo os valores:
Resposta
A hélice leva aproximadamente 56 segundos para atingir 200 rpm.