O motor de um pequeno aeroplano é especificado como capaz de gerar um torque de 60 N.m. O motor faz girar uma hélice com pás de 2,0 m de comprimento e massa de 40 kg . Na partida, quanto tempo leva para a hélice atingir 200 rpm ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um motor de avião que pode gerar um torque de 60 N.m, e ele está girando uma hélice com pás que têm 2 metros de comprimento e uma massa total de 40 kg. A pergunta é: quanto tempo a hélice leva para atingir 200 rotações por minuto (rpm) a partir do repouso? Vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e mecanica rotacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é torque. Torque é a força que faz algo girar. No nosso caso, o motor gera um torque de 60 N.m para girar a hélice.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia (I) da hélice. O momento de inércia é uma medida de quão difícil é mudar a velocidade de rotação de um objeto. Para uma massa concentrada a uma distância r do centro de rotação, a fórmula é:
I = m times r^2
Onde:
  • $ m $ é a massa (40 kg)
  • $ r $ é o raio (2,0 m)
Então,
m

Passo 4

Com o momento de inércia calculado, podemos encontrar a aceleração angular ($ \alpha $) usando a fórmula:
alpha
Onde:
  • $ \tau $ é o torque (60 N.m)
  • $ I $ é o momento de inércia (160 kg·m²)
Então,
alpha = tauI

Passo 5

Agora, precisamos converter as rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s), porque trabalhamos com a aceleração angular em rad/s². A conversão é:
omega = rpm times 2pi60
Para 200 rpm:
omega = 200 times 2pi60 approx 20,94 , rad/s

Passo 6

Finalmente, podemos encontrar o tempo necessário para a hélice atingir essa velocidade usando a relação entre aceleração angular, velocidade angular e tempo:
omega = alpha times t
Queremos resolver para $ t $:
t
Substituindo os valores:
t = omegaalpha

Resposta

A hélice leva aproximadamente 56 segundos para atingir 200 rpm.

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