1. Um motorista percorre 10,0 \mathrm{~km} a 40,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, os 1 e 10,0 \mathrm{~km} seguintes a 80,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e mais 10,0 \mathrm{~km} a 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Qual é a velocidade média do seu percurso? Compare-a com a média aritmética das velocidades.

Passo 1

O enunciado dá três trechos iguais em distância e pede duas coisas:
  • Qual é a velocidade média do percurso total?
  • Comparar essa velocidade média com a média aritmética das velocidades.
Informações fornecidas (pegas do enunciado):
  • Trecho 1: distância \,10{,}0\\ \mathrm{km}\, percorrida a \,40{,}0\\ \mathrm{km/h}\,.
  • Trecho 2: distância \,10{,}0\\ \mathrm{km}\, percorrida a \,80{,}0\\ \mathrm{km/h}\,.
  • Trecho 3: distância \,10{,}0\\ \mathrm{km}\, percorrida a \,30\\ \mathrm{km/h}\,.
Total de distância a percorrer: soma dos três trechos (será calculada adiante).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): velocidade média é definida como a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em símbolos:
\text{velocidade média} = \frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}.éâ
Aqui cada trecho tem distância \,d=10{,}0\\ \mathrm{km}\, e velocidades \,v_1=40{,}0, \,v_2=80{,}0, \,v_3=30\\ \mathrm{km/h}\,. O tempo em cada trecho é \,t_i = \dfrac{d}{v_i}\,. Vamos calcular esses tempos e a velocidade média.

Passo 3

Calcular a distância total:
\text{distância total} = 10{,}0 + 10{,}0 + 10{,}0 = 30{,}0\\ \mathrm{km}.â

Passo 4

Calcular os tempos em cada trecho (em horas):
t_1=\frac{10{,}0}{40{,}0}=\frac{1}{4}=0{,}25\\ \mathrm{h},
t_2=\frac{10{,}0}{80{,}0}=\frac{1}{8}=0{,}125\\ \mathrm{h},
t_3=\frac{10{,}0}{30}=\frac{1}{3}\approx0{,}333333\\ \mathrm{h}.
Somando os tempos:
\text{tempo total}=t_1+t_2+t_3=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{3}.
Fazendo com denominador comum 24:
\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{3}=\frac{6}{24}+\frac{3}{24}+\frac{8}{24}=\frac{17}{24}\\ \mathrm{h}\approx0{,}708333\\ \mathrm{h}.

Passo 5

Calcular a velocidade média usando distância total e tempo total:
\text{velocidade média}=\frac{30}{17/24}=30\cdot\frac{24}{17}=\frac{720}{17}\\ \mathrm{km/h}.é
Valor decimal aproximado:
\frac{720}{17}\approx42{,}352941\\ \mathrm{km/h}\approx42{,}35\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Calcular a média aritmética simples das três velocidades (isto é, somar e dividir por 3):
\text{média aritmética}=\frac{40{,}0+80{,}0+30}{3}=\frac{150}{3}=50{,}0\\ \mathrm{km/h}.éé

Passo 7

Comparação e interpretação (aula rápida e intuitiva):
  • A média aritmética trata cada velocidade com o mesmo peso, independentemente do tempo gasto em cada trecho. Por isso não é, em geral, a velocidade média real.
  • Quando os trechos têm a mesma distância (como aqui), a velocidade média real é a média harmônica das velocidades, dada por
v_{\text{média}}=\frac{3}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}+\dfrac{1}{v_3}},é
que leva exatamente ao valor \dfrac{720}{17}\\ \mathrm{km/h} calculado. Numericamente, a média aritmética \,50{,}0\\ \mathrm{km/h}\, é maior que a velocidade média real \approx42{,}35\\ \mathrm{km/h} porque o tempo gasto em velocidades baixas (aqui \,30\\ \mathrm{km/h}\,) pesa mais no tempo total, reduzindo a média ponderada.

Passo 8

Recapitulando com um tom de amigo: a resposta correta para usar na prova é a velocidade média baseada em distância total dividido por tempo total (aqui \dfrac{720}{17}\\ \mathrm{km/h}). A média aritmética é tentadora, mas está errada para este problema porque não leva em conta quanto tempo o motorista ficou em cada velocidade. Força aí — se fizer esse raciocínio passo a passo na prova, tranquilo!

Resposta

\dfrac{720}{17}\\ \mathrm{km/h}\approx42{,}35\\ \mathrm{km/h}
A média aritmética é 50{,}0\\ \mathrm{km/h}; é maior que a velocidade média real ( \approx42{,}35\\ \mathrm{km/h}).

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