- Um motorista percorre
a
, os 1 e
seguintes a
e mais
a
. Qual é a velocidade média do seu percurso? Compare-a com a média aritmética das velocidades.
Passo 1
O enunciado dá três trechos iguais em distância e pede duas coisas:
- Qual é a velocidade média do percurso total?
- Comparar essa velocidade média com a média aritmética das velocidades.
Informações fornecidas (pegas do enunciado):
- Trecho 1: distância
percorrida a . - Trecho 2: distância
percorrida a . - Trecho 3: distância
percorrida a .
Total de distância a percorrer: soma dos três trechos (será calculada adiante).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): velocidade média é definida como a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em símbolos:
Aqui cada trecho tem distância
e velocidades
,
,
. O tempo em cada trecho é
. Vamos calcular esses tempos e a velocidade média.
Passo 3
Calcular a distância total:
Passo 4
Calcular os tempos em cada trecho (em horas):
Somando os tempos:
Fazendo com denominador comum
:
Passo 5
Calcular a velocidade média usando distância total e tempo total:
Valor decimal aproximado:
Passo 6
Calcular a média aritmética simples das três velocidades (isto é, somar e dividir por 3):
Passo 7
Comparação e interpretação (aula rápida e intuitiva):
- A média aritmética trata cada velocidade com o mesmo peso, independentemente do tempo gasto em cada trecho. Por isso não é, em geral, a velocidade média real.
- Quando os trechos têm a mesma distância (como aqui), a velocidade média real é a média harmônica das velocidades, dada por
que leva exatamente ao valor
calculado. Numericamente, a média aritmética
é maior que a velocidade média real
porque o tempo gasto em velocidades baixas (aqui
) pesa mais no tempo total, reduzindo a média ponderada.
Passo 8
Recapitulando com um tom de amigo: a resposta correta para usar na prova é a velocidade média baseada em distância total dividido por tempo total (aqui
). A média aritmética é tentadora, mas está errada para este problema porque não leva em conta quanto tempo o motorista ficou em cada velocidade. Força aí — se fizer esse raciocínio passo a passo na prova, tranquilo!
Resposta
A média aritmética é
; é maior que a velocidade média real (
).