Seja
uma função definida em
, continua em 0 e tal que:
Provar que
é uma função constante (considerar para
fixado, a sequencia seguinte :
.
Dica : voce pode usar o teorema seguinte:
Teorema 1 Seja
uma função.
é continua em
se e somente se para toda sequencia
tal que
temos
.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que uma função
, contínua em 0 e satisfazendo
para todo
, é constante. Vamos usar o teorema sequencial da continuidade (Teorema 1) e explorar a condição funcional.
Passo 2
Para um
fixo, considere a sequência
definida por
Observamos que
Passo 3
Pela condição
aplicada repetidamente, temos para cada
:
Portanto, a sequência
Passo 4
Como
é contínua em 0, o Teorema 1 garante que de
segue
Mas como
Passo 5
Essa igualdade vale para qualquer
, logo
assume sempre o mesmo valor
e, portanto, é constante.
Resposta
Para todo
,
. Logo,
é constante.