Seja f uma função definida em R, continua em 0 e tal que:
forall x in R, f(x)=f(2 x)
Provar que f é uma função constante (considerar para x fixado, a sequencia seguinte : f: I R.
Dica : voce pode usar o teorema seguinte:
Teorema 1 Seja f uma função. x0 in I é continua em (un)n in N se e somente se para toda sequencia lim n +infty un=x0 tal que lim n +infty f(un)=f(x0) temos .

Passo 1

O exercício pede para mostrar que uma função f:RtoR, contínua em 0 e satisfazendo f(x)=f(2x) para todo x, é constante. Vamos usar o teorema sequencial da continuidade (Teorema 1) e explorar a condição funcional.

Passo 2

Para um xinR fixo, considere a sequência l(unr)n>=0 definida por
un=x2^n
Observamos que limntoinftyun=0.

Passo 3

Pela condição f(x)=f(2x) aplicada repetidamente, temos para cada n:
f(un)=fl(2unr)=fl(2^2unr)=cdots=fl(2^n unr)=f(x)
Portanto, a sequência l(f(un)r) é constante e igual a f(x).

Passo 4

Como f é contínua em 0, o Teorema 1 garante que de limntoinftyun=0 segue
limntoinftyf(un)=f(0)
Mas como f(un)=f(x) para todo n, concluímos que f(x)=f(0).

Passo 5

Essa igualdade vale para qualquer xinR, logo f assume sempre o mesmo valor f(0) e, portanto, é constante.

Resposta

Para todo xinR, f(x)=f(0). Logo, f é constante.

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