Use a definição alternativa (12) para calcular f^prime(z) para a função dada.
f(z)=z^4-z^2

Passo 1

Temos a função f(z)=z{4}-z{2} e queremos sua derivada usando a definição alternativa de derivada (12), ou seja, f'(z)=limh to 0 f(z+h)-f(z)h Vamos precisar expandir f(z+h), calcular o quociente de diferença e então tomar o limite.

Passo 2

Calculamos f(z+h):
f(z+h)=(z+h)^4-(z+h)^2 Expandindo cada termo usando binômio de Newton:
(z+h)^4=z^4+4z^3h+6z^2h^2+4zh^3+h^4,
(z+h)^2=z^2+2zh+h^2 Portanto

Passo 3

Subtraímos f(z) para obter o numerador do quociente:
f(z+h)-f(z)=l(z^4+4z^3h+6z^2h^2+4zh^3+h^4-z^2-2zh-h^2r) - (z^4-z^2) Ao simplificar termos semelhantes, vemos que z^{4} e -z^{2} cancelam em parte:
f(z+h)-f(z)=4z^3h+6z^2h^2+4zh^3+h^4-2zh-h^2

Passo 4

Dividimos esse resultado por h para formar o quociente de diferença:
f(z+h)-f(z)h=4z^3+6z^2h+4zh^2+h^3-2z-h

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando h \to 0. Como todos os termos com h desaparecem, fica:
f'(z)=4z^3-2z

Resposta

f’(z)=4z^{3}-2z

Exercícios relacionados