Um móvel descreve um MUV numa trajetória retilinea e os seus espaços variam no tempo de acordo com a função horária: S=9+3 t-2 t^{2} ( t em segundos e s em metros). O instante em que o móvel passa pela origem dos espaços é:

Passo 1

O enunciado nos dá a função horária dos espaços em função do tempo:
S = 9 + 3t - 2t^{2}
onde t está em segundos e S em metros.\n
A pergunta é: “Em que instante o móvel passa pela origem dos espaços?” — isto é, queremos achar os valores de t tais que o espaço S seja igual a zero (porque a origem dos espaços corresponde a S=0).\n
Informações relevantes: a expressão de S(t) fornecida acima e as unidades ( t em s, S em m). Não há mais restrições explícitas sobre o intervalo de t no enunciado.

Passo 2

Tradução matemática do pedido: precisamos resolver a equação
S(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad 9+3t-2t^{2}=0.
Isto é uma equação quadrática em t.\n
Quando temos uma função polinomial do segundo grau igualada a zero, procuramos as raízes (valores de t) que anulam a expressão.

Passo 3

Vamos colocar a equação na forma padrão a t^{2} + b t + c = 0.\n
A forma dada é -2t^{2} + 3t + 9 = 0. Aqui, identificamos:
a = -2,\quad b = 3,\quad c = 9.
(Observação: também poderíamos multiplicar por -1 e trabalhar com 2t^{2}-3t-9=0; o resultado será o mesmo.)

Passo 4

Apresento a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) que nos dá diretamente as raízes de uma equação quadrática:
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Explicando cada símbolo: a, b, c são os coeficientes da equação a t^{2}+b t + c = 0; o discriminante é \Delta = b^{2}-4ac e indica se as raízes são reais ( \Delta\ge 0) ou complexas ( \Delta<0).\n
Vamos calcular o discriminante com os valores identificados.

Passo 5

Calculemos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 3^{2}-4\cdot(-2)\cdot 9 = 9 + 72 = 81.
Como \Delta=81>0, teremos duas raízes reais e distintas.\n
Agora aplicamos a fórmula:
t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2\cdot(-2)}.
Como \sqrt{81}=9, substituímos:
t = \frac{-3 \pm 9}{-4}.

Passo 6

Calculemos cada caso do \pm:
Caso +:
t_{1}=\frac{-3 + 9}{-4}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}=-1{,}5\\ \text{s}.
Caso -:
t_{2}=\frac{-3 - 9}{-4}=\frac{-12}{-4}=3\\ \text{s}.
Portanto as soluções matemáticas são t=-\tfrac{3}{2}\\ \text{s} e t=3\\ \text{s}.\n
Interpretação física: o valor t=-\tfrac{3}{2}\\ \text{s} corresponde a um instante anterior a t=0 (isto é, antes do referencial temporal que estamos usando). Se o exercício está considerando apenas t\ge 0 (como é comum), o instante fisicamente relevante em que o móvel passa pela origem é t=3\\ \text{s}. Mas matematicamente ele passa pela origem também em t=-1{,}5\\ \text{s}.

Resposta

t=-\dfrac{3}{2}\\ \text{s}\n
t=3\\ \text{s}

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