Um móvel se desloca em linha reta obedecendo a função horária v(t)=3 t^{2}-4 t (no SI), determine:
a aceleraçāo média entre os instantes t=1 \mathrm{~s} e t=2 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado nos dá a função horária da velocidade
v(t)=3 t^{2}-4 t
(no Sistema Internacional) e pede a aceleração média entre os instantes t=1\\ \mathrm{s} e t=2\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes:
v(t)=3t^{2}-4t
Instantes: t_1=1\\ \mathrm{s} e t_2=2\\ \mathrm{s}.
O que nos pedem explicitamente: calcular a aceleração média no intervalo [1\\ \mathrm{s},\,2\\ \mathrm{s}].

Passo 2

Lembrete conceitual (calminha que eu explico): a aceleração média em um intervalo de tempo é a taxa de variação média da velocidade nesse intervalo. Em fórmula,
\bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}.
Aqui \bar a é a aceleração média (em \mathrm{m/s^{2}}), \Delta v é a variação da velocidade (em \mathrm{m/s}) e \Delta t é a duração do intervalo (em \mathrm{s}). Essa fórmula vem da definição de taxa de variação média — nada mais é do que “quanto a velocidade mudou” dividido por “quanto tempo passou”.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade nos instantes dados substituindo na função v(t).
Calcule v(1):
v(1)=3\cdot(1)^{2}-4\cdot(1)=3-4=-1\\ \mathrm{m/s}.
Calcule v(2):
v(2)=3\cdot(2)^{2}-4\cdot(2)=3\cdot4-8=12-8=4\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei passo a passo: primeiro elevo t ao quadrado, multiplico por 3, depois subtraio 4t.

Passo 4

Agora calculo a variação da velocidade \Delta v e o intervalo de tempo \Delta t:
\Delta v = v(2)-v(1)=4-(-1)=5\\ \mathrm{m/s},
\Delta t = 2-1=1\\ \mathrm{s}.
Substituindo na fórmula da aceleração média:
\bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{5}{1}=5\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Checagem didática extra (útil para a prova): a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Se você quiser reconhecer o comportamento da aceleração no intervalo, calcule
a(t)=\frac{dv}{dt}=6t-4.
Então a(1)=6\cdot1-4=2\\ \mathrm{m/s^{2}} e a(2)=6\cdot2-4=8\\ \mathrm{m/s^{2}}. A aceleração média 5\\ \mathrm{m/s^{2}} fica entre 2 e 8, o que faz sentido — é a média da variação nesse intervalo.

Resposta

5\\ \mathrm{m/s^{2}}

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