Um móvel se desloca em linha reta obedecendo a função horária v(t)=3 t^{2}-4 t (no SI), determine:
a aceleração em t=1 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado dá a função horária da velocidade e pede o valor da aceleração em um instante específico. Informações e o que é pedido:
  • Dado: v(t)=3 t^{2}-4 t, onde t está em segundos (SI) e v em metros por segundo (SI).
  • Pedido: determinar a aceleração em t=1\\ \mathrm{s}; ou seja, calcular a(1\\ \mathrm{s}).

Passo 2

O que é aceleração e como encontrá-la aqui:
  • A aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matematicamente isso é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
  • Intuição: se você desenhar v em função de t, a aceleração em um instante é a inclinação (o declive) da reta tangente nesse ponto. As unidades serão metros por segundo ao quadrado ( \mathrm{m\\ s^{-2}}), porque é variação de \mathrm{m\\ s^{-1}} por segundo.

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas fácil):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Constante multiplicativa: a derivada de c\cdot f(t) é c\cdot f'(t).
  • Regra do poder (power rule): a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}. Exemplo simples: a derivada de t^{3} é 3t^{2}.
    Aplicando essas regras podemos derivar cada termo de v(t) separadamente.

Passo 4

Derivando v(t)=3 t^{2}-4 t passo a passo:
  • Derivada do primeiro termo 3 t^{2}: pela constante multiplicativa e power rule,
\frac{d}{dt}(3 t^{2}) = 3\cdot \frac{d}{dt}(t^{2}) = 3\cdot (2t) = 6t.
  • Derivada do segundo termo -4 t: t é t^{1}, então
\frac{d}{dt}(-4 t) = -4\cdot \frac{d}{dt}(t) = -4\cdot 1 = -4.
  • Somando as derivadas (regra da soma), obtemos a aceleração geral:
a(t)=6t-4.

Passo 5

Agora avaliamos em t=1\\ \mathrm{s}:
a(1\\ \mathrm{s})=6\cdot 1 - 4 = 6-4 = 2.

Passo 6

Unidades e interpretação final:
  • Como v estava em \mathrm{m\\ s^{-1}} e t em \mathrm{s}, a aceleração tem unidade \mathrm{m\\ s^{-2}}.
  • Interpretação física: em t=1\\ \mathrm{s} a velocidade está aumentando à taxa de 2\\ \mathrm{m\\ s^{-2}} — isto é, a cada segundo a velocidade aumenta 2 metros por segundo.
  • Checagem rápida (opcional): uma diferença finita aproximada [v(1{,}01)-v(1)]/0{,}01 dá valor próximo a 2, confirmando o resultado.

Resposta

a(1\\ \mathrm{s})=2\\ \mathrm{m\\ s^{-2}}

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