1- Um móvel percorreu a metade da distância com a velocidade v_{1}. A primeira metade do tempo restante percorreu com a velocidade v_{2} e na segunda metade com a velocidade v_{3} (o tempo gasto em percorrer a 1{ }^{\mathrm{a}} e a 2^{\mathrm{a}} metade, são iguais). Determinar a velocidade média em todo o percurso.
\boldsymbol{R}: \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{m}}=\frac{\mathbf{2} \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}\left(\boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}+\boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}\right)}{\mathbf{2} \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}+\boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}+\boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}}

Passo 1

O enunciado pede a velocidade média de todo o percurso e nos dá as seguintes informações (vou organizar bem para você não se perder):
  • A distância total do percurso vamos chamar de S.
  • A primeira metade da distância foi percorrida com velocidade \(v_1). Logo, a distância do primeiro trecho é \(S/2).
  • A outra metade da distância (ou seja, a segunda metade, que vale \(S/2)) foi percorrida em dois trechos cujos tempos são iguais: o primeiro desses dois trechos teve velocidade \(v_2) e o segundo teve velocidade \(v_3). Ou seja, os tempos dos trechos 2 e 3 são iguais.
  • Pergunta: determinar a velocidade média no percurso inteiro, isto é, \(v_m).

Passo 2

Primeiro lembre de definição (fórmula que você vai usar): a velocidade média \(v_m) é a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em símbolos:
v_m=\frac{S}{T},
onde \(S) é a distância total e \(T) é o tempo total gasto. Explico: velocidade média não é a média aritmética das velocidades; é distância dividida por tempo total.

Passo 3

Calcule o tempo gasto no primeiro trecho (onde se percorre \(S/2) com velocidade \(v_1)). A relação básica entre tempo, distância e velocidade é
\text{tempo}=\frac{\text{distância}}{\text{velocidade}}.â
Portanto o tempo do primeiro trecho é
t_1=\frac{S/2}{v_1}=\frac{S}{2v_1}.

Passo 4

Agora trate dos dois trechos finais: como os tempos são iguais, chame cada um desses tempos de \(\tau). Então
t_2=\tau,\qquad t_3=\tau.
As distâncias percorridas nesses trechos são
d_2=v_2\tau,\qquad d_3=v_3\tau.
Esses dois trechos juntos cobrem a segunda metade da distância, ou seja d_2+d_3=S/2. Substituindo,
v_2\tau+v_3\tau=(v_2+v_3)\tau=\frac{S}{2}.
Daí isolamos \tau:
\tau=\frac{S}{2(v_2+v_3)}.

Passo 5

Calcule o tempo total T. É a soma dos três tempos:
T=t_1+t_2+t_3=\frac{S}{2v_1}+ \tau+\tau=\frac{S}{2v_1}+2\tau.
Substituindo o valor de \tau obtido no passo anterior,
2\tau=2\cdot\frac{S}{2(v_2+v_3)}=\frac{S}{v_2+v_3}.
Portanto
T=\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{v_2+v_3}.

Passo 6

Agora volte à definição da velocidade média \(v_m=\dfrac{S}{T}) e substitua T:
v_m=\frac{S}{\dfrac{S}{2v_1}+\dfrac{S}{v_2+v_3}}.
Fatorando S do denominador (ou cancelando S em cima e em baixo) fica mais simples:
v_m=\frac{1}{\dfrac{1}{2v_1}+\dfrac{1}{v_2+v_3}}.
Agora faça o denominador comum:
\dfrac{1}{2v_1}+\dfrac{1}{v_2+v_3}=\frac{v_2+v_3+2v_1}{2v_1(v_2+v_3)}.
Tomando o inverso,
v_m=\frac{2v_1(v_2+v_3)}{v_2+v_3+2v_1}.
Pronto — chegamos à expressão pedida.

Resposta

v_m=\frac{2v_1\left(v_2+v_3\right)}{2v_1+v_2+v_3}

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