Um sistema físico é descrito pela lagrangiana
L=\frac{m}{2}\left(\dot{\rho}^{2}+\rho^{2} \dot{\varphi}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+a \rho^{2} \dot{\varphi}
onde (\rho, \varphi, z) são coordenadas cilíndricas e a é uma constante. (i) Determine H. (ii) Identifique três constantes de movimento. (iii) Mostre que a solução da equação radial pode ser reduzida a uma quadratura da forma
t=\int \frac{d \rho}{\sqrt{\alpha-\left(\beta-a \rho^{2}\right)^{2} / m^{2} \rho^{2}}}
sendo \alpha e \beta constantes.

Passo 1

O enunciado apresenta a lagrangiana em coordenadas cilíndricas
L=\frac{m}{2}\bigl(\dot{\rho}^{2}+\rho^{2}\dot{\varphi}^{2}+\dot{z}^{2}\bigr)+a\,\rho^{2}\dot{\varphi}
e pede: (i) o hamiltoniano H, (ii) três constantes de movimento e (iii) reduzir a equação radial a uma quadratura. Para isso vamos usar definição de momento canônico, transformação de Legendre e conservação de energia.

Passo 2

Calculamos os momentos canônicos \,p_{i}=\partial L/\partial\dot{q}^{i}.
Para \rho:
p_{\rho}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\rho}} =m\,\dot{\rho}.
Para \varphi:
p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}} =m\,\rho^{2}\dot{\varphi}+a\,\rho^{2}.
Para z:
p_{z}=\frac{\partial L}{\partial\dot{z}} =m\,\dot{z}.

Passo 3

Fazemos a transformação de Legendre
H =\sum_{i}\!p_{i}\dot q^{i}-L =p_{\rho}\dot{\rho}+p_{\varphi}\dot{\varphi}+p_{z}\dot{z}-L.
Substituindo \dot{\rho}=p_{\rho}/m, \dot{\varphi}=(p_{\varphi}-a\,\rho^{2})/(m\,\rho^{2}) e \dot z=p_{z}/m, obtemos
H =\frac{p_{\rho}^{2}}{2m} +\frac{\bigl(p_{\varphi}-a\,\rho^{2}\bigr)^{2}}{2m\,\rho^{2}} +\frac{p_{z}^{2}}{2m}.

Passo 4

As variáveis \varphi e z não aparecem explicitamente em L, são cíclicas, logo \displaystyle p_{\varphi}=\beta e \displaystyle p_{z}=\gamma são constantes.
Além disso, como L não depende de t de modo explícito, H é conservado; definimos H=E.

Passo 5

Da conservação de energia H=E isolamos \dot{\rho}^{2}. Com p_{\varphi}=\beta e p_{z}=\gamma:
E =\frac{m}{2}\dot{\rho}^{2} +\frac{(\beta-a\,\rho^{2})^{2}}{2m\,\rho^{2}} +\frac{\gamma^{2}}{2m}.
Multiplicando por 2/m e agrupando constantes em \displaystyle \alpha=\frac{2E}{m}-\frac{\gamma^{2}}{m^{2}},
temos
\dot{\rho}^{2} =\alpha -\frac{(\beta-a\,\rho^{2})^{2}}{m^{2}\,\rho^{2}}.
Invertendo \dot{\rho}=d\rho/dt resulta na quadratura
t=\int\frac{d\rho} {\sqrt{\displaystyle \alpha-\frac{(\beta-a\,\rho^{2})^{2}}{m^{2}\,\rho^{2}} }}.

Resposta

(i)
H =\frac{p_{\rho}^{2}}{2m} +\frac{\bigl(p_{\varphi}-a\,\rho^{2}\bigr)^{2}}{2m\,\rho^{2}} +\frac{p_{z}^{2}}{2m}.
(ii) As três constantes de movimento são \displaystyle p_{\varphi}, \displaystyle p_{z} e H (energia).
(iii) A solução radial satisfaz
t=\int\frac{d\rho} {\sqrt{\displaystyle \alpha-\frac{(\beta-a\,\rho^{2})^{2}}{m^{2}\,\rho^{2}} }}
com \alpha e \beta constantes.

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