Um sistema físico é descrito pela lagrangiana
onde
são coordenadas cilíndricas e
é uma constante. (i) Determine
. (ii) Identifique três constantes de movimento. (iii) Mostre que a solução da equação radial pode ser reduzida a uma quadratura da forma
sendo
e
constantes.
Passo 1
O enunciado apresenta a lagrangiana em coordenadas cilíndricas
e pede: (i) o hamiltoniano
, (ii) três constantes de movimento e (iii) reduzir a equação radial a uma quadratura. Para isso vamos usar definição de momento canônico, transformação de Legendre e conservação de energia.
Passo 2
Calculamos os momentos canônicos
.
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 3
Fazemos a transformação de Legendre
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 4
As variáveis
e
não aparecem explicitamente em
, são cíclicas, logo
e
são constantes.
Além disso, como não depende de
de modo explícito,
é conservado; definimos
.
Além disso, como
Passo 5
Da conservação de energia
isolamos
. Com
e
:
Multiplicando por
e agrupando constantes em
,
temos
temos
Invertendo
resulta na quadratura
Resposta
(i)
(ii) As três constantes de movimento são
,
e
(energia).
(iii) A solução radial satisfaz
(iii) A solução radial satisfaz
com
e
constantes.