O movimento de um corpo em MHS é descrito pela equação: x(t)=6 cdot 10^-3 m cdot cos (pi6 cdot rads t+pi6 rad)
Qual é a velocidade v(t) do objeto no instante t=1 cdot s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento harmônico simples (MHS) de um objeto, que é descrito pela função de posição $ x(t) = 6 \times 10^{-3} , m \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} , \frac{rad}{s} \cdot t + \frac{\pi}{6} , rad\right) $. Precisamos encontrar a velocidade $ v(t) $ desse objeto no instante $ t = 1 , s $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada da posição em relação ao tempo para achar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, $ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} $. Vamos derivar a função de posição dada para encontrar a expressão da velocidade.

Passo 3

Vamos derivar a função $ x(t) = 6 \times 10^{-3} , m \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} t + \frac{\pi}{6}\right) $. A derivada de $ \cos(kt + \phi) $ é $ -k \cdot \sin(kt + \phi) $, onde $ k $ é a constante multiplicativa de $ t $.

Passo 4

Aplicando a regra da derivada:
v(t) = dx(t)dt = -6 times 10^-3 , m cdot pi6 , rads cdot sin(pi6 t + pi6)
Simplificando:
v(t) = -(6 times 10^-3 cdot pi6) sin(pi6 t + pi6)
v(t) = -10^-3 pi sin(pi6 t + pi6)

Passo 5

Agora, precisamos calcular $ v(t) $ no instante $ t = 1 , s $:
v(t)
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
t = 1 , s

Resposta

A velocidade do objeto no instante $ t = 1 , s $ é $ v(1) = -\frac{\pi \sqrt{3}}{2} \times 10^{-3} , m/s $.

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