O movimento de um determinado sistema de massa-mola é governado pela equação diferencial y^prime prime+0,125 y^prime+y=0, onde y é medido em metros e t em segundos. Se y(0)=2 e y^prime(0)=0. Podemos afirmar que a equação que determina a posição da massa em qualquer tempo; assim como a quasi-frequência mu; o quasi-periódo Td; a amplitude R do movimento; o ângulo de fase de<a e o primeiro instante t0 para o qual a massa passa pela sua posição de equilíbrio são respectivamente:

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 0,125,y' + y = 0
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0.
Isso é um oscilador massa-mola subamortecido cujo coeficiente de amortecimento é tfrac0,1252=0,0625. Vamos usar o método de raízes do polinômio característico e depois passar à forma de fase-amplitude para obter y(t), a quasi-frequência mu, o quasi-período Td, a amplitude R, a fase de<a e o primeiro instante t0 em que y=0.

Passo 2

O polinômio característico é
s^2 + 0,125,s + 1 = 0
As raízes são
s = -0,1252 pm i,raiz1 - l(tfrac0,1252r)^2 = -116 pm i,raiz25516
Daí a quasi-frequência (parte imaginária) é
mu = raiz25516

Passo 3

A solução geral em termos de senos e cossenos é
y(t) = e^-t/16l(Ccos(mu t) + Dsin(mu t)r)
Em t=0 temos y(0)=C=2.
Derivando e avaliando em t=0:
y'(t)=e^-t/16l(-tfrac116Ccos(mu t)-mu Csin(mu t) +tfrac116Dsin(mu t)+mu Dcos(mu t)r),
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y'(0)=-tfrac116C + mu D = 0 Longrightarrow D = C16,mu = 216,(raiz255/16) = 2raiz255

Passo 4

Passamos à forma de fase-amplitude
y(t) = R,e^-t/16cosl(mu t - de<ar),
onde
R = raizC^2 + D^2 = raiz4 + l(tfrac2raiz255r)^2 = 32raiz255,
de<a = arctan!l(tfracDCr) = arctan!l(tfrac1raiz255r)

Passo 5

Cálculos numéricos aproximados:
mu approx 0,99805;rad/s, Td = 2pimu approx 6,293;s,
R = 32raiz255approx 2,0039;m, de<a = arctan!l(1/raiz255r)approx 0,06256;rad

Passo 6

O primeiro instante t0>0 em que y(t0)=0 satisfaz
cos(mu t0 - de<a)=0, ou seja
mu t0 - de<a = pi2 Longrightarrow t0 = pi/2 + de<amu approx 1,5708 + 0,062560,99805 approx 1,637;s

Resposta

A posição da massa é
y(t) = 32raiz255;e^-t/16, cos!l(tfracraiz25516,t ;-;arctan!tfrac1raiz255r)
Os parâmetros são:
mu = raiz25516approx0,99805, Td=2pimuapprox6,293;s, R=32raiz255approx2,0039,
de<a=arctan!l(tfrac1raiz255r)approx0,06256;rad, t0approx1,637;s

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