Q2.6 Sob quais condições o módulo do vetor velocidade média é igual ao módulo da velocidade escalar?

Passo 1

O enunciado pede para comparar o módulo da velocidade média vetorial com a velocidade escalar média (ou “módulo da velocidade média”). O conteúdo é cinemática escalar e vetorial em uma dimensão ou em movimento geral. Vamos precisar das definições de
  1. velocidade média vetorial:
\mathbf{v}_{\text{méd}}=\frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}é
  1. velocidade escalar média (média de velocidades) ou velocidade escalar média de percurso:
v_{\text{méd,esc}}=\frac{\text{distância total percorrida}}{\Delta t}\,.éâ

Passo 2

Escrevendo as fórmulas com detalhes, para um intervalo de tempo \Delta t=t_2 - t_1:
\mathbf{v}_{\text{méd}} = \frac{\mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)}{\Delta t},é
então
\bigl\lvert \mathbf{v}_{\text{méd}}\bigr\rvert = \frac{\bigl\lvert \mathbf{r}(t_2)-\mathbf{r}(t_1)\bigr\rvert}{\Delta t}\,.é
Por outro lado, a velocidade escalar média é
v_{\text{méd,esc}} = \frac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\bigl\lvert \mathbf{v}(t)\bigr\rvert\,dt}{\Delta t} = \frac{\text{comprimento total da trajetória}}{\Delta t}\,.éó

Passo 3

Comparemos as duas quantidades:
\bigl\lvert \mathbf{v}_{\text{méd}}\bigr\rvert \;=\;\frac{\bigl\lvert \Delta \mathbf{r}\bigr\rvert}{\Delta t}, \qquad v_{\text{méd,esc}} \;=\;\frac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\bigl\lvert \mathbf{v}(t)\bigr\rvert\,dt}{\Delta t}.éé
A diferença está em \bigl\lvert \Delta \mathbf{r}\bigr\rvert versus \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\bigl\lvert \mathbf{v}(t)\bigr\rvert\,dt.

Passo 4

Usando a desigualdade triangular para integrais vetoriais, temos sempre
\bigl\lvert \Delta \mathbf{r}\bigr\rvert = \bigl\lvert \!\!\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{v}(t)\,dt\bigr\rvert \;\le\;\int_{t_1}^{t_2}\bigl\lvert \mathbf{v}(t)\bigr\rvert\,dt.
A igualdade nesta desigualdade ocorre exatamente quando o vetor \mathbf{v}(t) não muda de direção ao longo de todo o intervalo [t_1,t_2]. Ou seja, todos os vetores \mathbf{v}(t) são colineares e apontam no mesmo sentido.

Passo 5

Portanto, o módulo da velocidade média vetorial coincide com a velocidade escalar média se, e somente se, a trajetória percorrida for uma linha reta sem inversão de sentido. Em termos práticos, isso significa que o movimento deve ser retilíneo e unidirecional durante todo o intervalo de tempo considerado.

Resposta

O módulo de \mathbf{v}_{\text{méd}}é é igual à velocidade escalar média exatamente quando a velocidade \mathbf{v}(t) mantém direção (e sentido) constantes, ou seja, o móvel se desloca em linha reta sem retornar nem mudar de sentido.

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