3 (Movimento em duas dimensões). O vetor posição de uma partícula que se move no plano
é dado por:
é dado em metros e
em segundos.
Determine o vetor velocidade e aceleração instantânea para
.
Determine o vetor velocidade e aceleração instantânea para
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor posição da partícula no plano
e pede os vetores velocidade e aceleração instantâneos no instante
.
Informações dadas:
- O vetor posição é
com
em metros e
em segundos.
O que é pedido:
- Calcular
(vetor velocidade instantânea em ). - Calcular
(vetor aceleração instantânea em ).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática):
- A velocidade instantânea é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Em símbolos:
Isto significa que cada componente do vetor velocidade é a derivada temporal da componente correspondente de
.
- A aceleração instantânea é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada da posição):
Regra de derivação usada (para polinômios):
- Se
com constante e inteiro , então
Iremos aplicar isso termo a termo nas componentes.
Passo 3
Derivar componente
de
:
A componente é
.
Aplicando a regra de derivação termo a termo:
A componente
Aplicando a regra de derivação termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto a componente
da velocidade é
Passo 4
Derivar componente
de
:
A componente é
.
Aplicando a regra:
A componente
Aplicando a regra:
- Derivada de
é .
Portanto a componente
da velocidade é
Juntando as componentes, o vetor velocidade geral é
Passo 5
Avaliar
em
:
- Calcular
em : . - Então
(metros por segundo). - Calcular
(metros por segundo).
Logo
Passo 6
Agora a aceleração: derivar
componente a componente.
Para
:
- Derivada é
.
Para
:
- Derivada é
.
Portanto o vetor aceleração geral é
Passo 7
Avaliar
em
:
- Para
: (m/s ). - Para
: (m/s ).
Logo
Passo 8
Verificação rápida de unidades e sentido:
-
tem unidades de e tem unidades de , como obtido. - Tudo bate com as regras de derivação (polinômios), então as respostas estão consistentes.