3 (Movimento em duas dimensões). O vetor posição de uma partícula que se move no plano x y é dado por:
\vec{r}=\left(\frac{2}{5} t^{3}-\frac{3}{5} t^{2}\right) \hat{i}+\frac{1}{6} t^{4} \hat{j}
\vec{r} é dado em metros e t em segundos.
Determine o vetor velocidade e aceleração instantânea para t=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição da partícula no plano xy e pede os vetores velocidade e aceleração instantâneos no instante t=3\\ \mathrm{s}.
Informações dadas:
  • O vetor posição é
\vec{r}(t)=\left(\frac{2}{5}t^{3}-\frac{3}{5}t^{2}\right)\hat{i}+\frac{1}{6}t^{4}\,\hat{j},
com \vec{r} em metros e t em segundos.
O que é pedido:
  • Calcular \vec{v}(3\\ \mathrm{s}) (vetor velocidade instantânea em t=3\\ \mathrm{s}).
  • Calcular \vec{a}(3\\ \mathrm{s}) (vetor aceleração instantânea em t=3\\ \mathrm{s}).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática):
  • A velocidade instantânea é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Em símbolos:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Isto significa que cada componente do vetor velocidade é a derivada temporal da componente correspondente de \vec{r}(t).
  • A aceleração instantânea é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada da posição):
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
Regra de derivação usada (para polinômios):
  • Se f(t)=c\,t^{n} com constante c e inteiro n, então
\frac{df}{dt}=c\cdot n\,t^{n-1}.
Iremos aplicar isso termo a termo nas componentes.

Passo 3

Derivar componente x de \vec{r}(t):
A componente x é \displaystyle r_x(t)=\frac{2}{5}t^{3}-\frac{3}{5}t^{2}.
Aplicando a regra de derivação termo a termo:
  • Derivada de \frac{2}{5}t^{3} é \frac{2}{5}\cdot 3 t^{2}=\frac{6}{5}t^{2}.
  • Derivada de -\frac{3}{5}t^{2} é -\frac{3}{5}\cdot 2 t=-\frac{6}{5}t.
Portanto a componente x da velocidade é
v_x(t)=\frac{6}{5}t^{2}-\frac{6}{5}t=\frac{6}{5}\bigl(t^{2}-t\bigr).

Passo 4

Derivar componente y de \vec{r}(t):
A componente y é \displaystyle r_y(t)=\frac{1}{6}t^{4}.
Aplicando a regra:
  • Derivada de \frac{1}{6}t^{4} é \frac{1}{6}\cdot 4 t^{3}=\frac{4}{6}t^{3}=\frac{2}{3}t^{3}.
Portanto a componente y da velocidade é
v_y(t)=\frac{2}{3}t^{3}.
Juntando as componentes, o vetor velocidade geral é
\vec{v}(t)=\frac{6}{5}\bigl(t^{2}-t\bigr)\,\hat{i}+\frac{2}{3}t^{3}\,\hat{j}.

Passo 5

Avaliar \vec{v}(t) em t=3\\ \mathrm{s}:
  • Calcular t^{2}-t em t=3: 3^{2}-3=9-3=6.
  • Então v_x(3)=\dfrac{6}{5}\cdot 6=\dfrac{36}{5} (metros por segundo).
  • Calcular v_y(3)=\dfrac{2}{3}\cdot 3^{3}=\dfrac{2}{3}\cdot 27=\dfrac{54}{3}=18 (metros por segundo).
Logo
\vec{v}(3\,\mathrm{s})=\frac{36}{5}\,\hat{i}+18\,\hat{j}\quad\text{(m/s)}.

Passo 6

Agora a aceleração: derivar \vec{v}(t) componente a componente.
Para v_x(t)=\dfrac{6}{5}t^{2}-\dfrac{6}{5}t:
  • Derivada é a_x(t)=\dfrac{6}{5}\cdot 2t-\dfrac{6}{5}=\dfrac{12}{5}t-\dfrac{6}{5}.
Para v_y(t)=\dfrac{2}{3}t^{3}:
  • Derivada é a_y(t)=\dfrac{2}{3}\cdot 3 t^{2}=2 t^{2}.
Portanto o vetor aceleração geral é
\vec{a}(t)=\left(\frac{12}{5}t-\frac{6}{5}\right)\hat{i}+2t^{2}\,\hat{j}.

Passo 7

Avaliar \vec{a}(t) em t=3\\ \mathrm{s}:
  • Para a_x(3): \dfrac{12}{5}\cdot 3-\dfrac{6}{5}=\dfrac{36}{5}-\dfrac{6}{5}=\dfrac{30}{5}=6 (m/s ^2).
  • Para a_y(3): 2\cdot 3^{2}=2\cdot 9=18 (m/s ^2).
Logo
\vec{a}(3\,\mathrm{s})=6\,\hat{i}+18\,\hat{j}\quad\text{(m/s}^2\text{)}.

Passo 8

Verificação rápida de unidades e sentido:
  • \vec{v} tem unidades de \mathrm{m/s} e \vec{a} tem unidades de \mathrm{m/s^{2}}, como obtido.
  • Tudo bate com as regras de derivação (polinômios), então as respostas estão consistentes.

Resposta

\vec{v}(3\,\mathrm{s})=\dfrac{36}{5}\,\hat{i}+18\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s}
\vec{a}(3\,\mathrm{s})=6\,\hat{i}+18\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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