2 (Movimento em duas e três dimensoes - 2,5 pontos) Um menino faz uma pedra descrever um movimento circular uniforme a 2,0 \mathrm{~m} de altura, paralela ao solo, com raio de 1,8 \mathrm{~m}. A corda se arrebenta e a pedra é arremessada horizontalmente e cai a uma distância horizontal de 12 m .
a) Qual era o módulo da aceleração centripeta durante o movimento circular?
b) Qual era o a velocidade, direção e sentido quando a pedra estava a 3 m de distância, logo após o lançamento.

Passo 1

O enunciado descreve duas etapas: na primeira, a pedra faz MUV circular uniforme de raio R = 1,8\)\,m a uma altura \(h = 2,0\)\,m; na segunda, a corda se parte e ela parte como projétil horizontal que atinge o solo a \(x = 12\)\,m do ponto de lançamento. Para resolver usaremos (1) a fórmula da aceleração centrípeta \[a_c = \frac{v^2}{R}
e (2) cinemática do projétil horizontal, em particular
\begin{cases} x = v\,t,\\\ h = \tfrac12\,g\,t^2, \end{cases}
para determinar a velocidade (v] no instante da queda.

Passo 2

Calcular o tempo de queda t resolvendo
\;h = \tfrac12\,g\,t^2.
Assim,
t = \sqrt{\frac{2\,h}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2,0}{9,8}} = \sqrt{0,40816} \approx 0,639\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Determinar a velocidade horizontal v no instante do lançamento, usando
x = v\,t \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{x}{t} = \frac{12}{0,639} \approx 18,78\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a aceleração centrípeta
a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(18,78)^2}{1,8} \approx \frac{352,8}{1,8} \approx 196\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Para a parte (b), achamos o instante em que o projétil percorre x_3=3,0,m:
t_3 = \frac{x_3}{v} = \frac{3,0}{18,78} \approx 0,160\\ \mathrm{s}.
Nesse instante,
v_x = v = 18,78\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_y = -g\,t_3 = -9,8 \times 0,160 \approx -1,57\\ \mathrm{m/s}.
O módulo da velocidade é
\bigl|\mathbf{v}\bigr| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(18,78)^2 + (-1,57)^2} \approx 18,85\\ \mathrm{m/s}.
O ângulo \theta abaixo da horizontal satisfaz
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{|v_y|}{v_x}\biggr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{1,57}{18,78}\bigr) \approx 4,8^\circ.
O sentido é “para frente e para baixo” (isto é, componente horizontal positiva e componente vertical negativa).

Resposta

a) a_c \approx 196\\ \mathrm{m/s^2}.
b) No ponto em que percorreu 3{,}0,m horizontalmente,
|\mathbf{v}|\approx18{,}85\\ \mathrm{m/s}, \quad \theta\approx4{,}8^\circ\text{ abaixo da horizontal},
sentido para frente e para baixo.

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