Questão 6:

Estime a ordem de grandeza do número de fios de cabelo que você um ser humano possui, em média, na cabeça. Para isso, considere que a cabeça humana possui um diâmetro médio de 56 cm e que a seção transversal de um fio de cabelo possui, em média, um diâmetro de 70 \mu \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a ordem de grandeza do número de fios de cabelo na cabeça humana. Nós vamos modelar a cabeça como uma esfera de diâmetro médio de \,56\:\mathrm{cm} e supor que os fios de cabelo preenchem toda essa superfície sem espaço entre eles. Para isso, precisamos calcular:
  1. A área da superfície da esfera (cabeça).
  2. A área da seção transversal de um fio de cabelo, dado seu diâmetro médio de \,70\:\mu\mathrm{m}.
  3. A razão entre essas duas áreas, que nos dá o número aproximado de fios.

Passo 2

O raio da cabeça é
R = \frac{56\:\mathrm{cm}}{2} = 28\:\mathrm{cm}.
A área de uma esfera é
A_{\text{cabeça}} \;=\; 4\pi R^2 \;=\; 4\pi\,(28\:\mathrm{cm})^2 \;\approx\; 4\pi \times 784\:\mathrm{cm}^2 \;\approx\; 9{,}85\times10^3\:\mathrm{cm}^2.ç

Passo 3

O diâmetro de um fio é \,70\:\mu\mathrm{m} = 7{,}0\times10^{-3}\:\mathrm{cm}, logo o raio é
r_{\text{fio}} = \frac{7{,}0\times10^{-3}\:\mathrm{cm}}{2} = 3{,}5\times10^{-3}\:\mathrm{cm}.
A área da seção transversal do fio é
A_{\text{fio}} = \pi\,r_{\text{fio}}^2 = \pi\,\bigl(3{,}5\times10^{-3}\:\mathrm{cm}\bigr)^2 \approx \pi \times 12{,}25\times10^{-6}\:\mathrm{cm}^2 \approx 3{,}85\times10^{-5}\:\mathrm{cm}^2.

Passo 4

Supondo que cada fio “ocupe” uma área igual à sua seção transversal e que eles se distribuam cobrindo toda a superfície, o número de fios é
N \approx \frac{A_{\text{cabeça}}}{A_{\text{fio}}} \approx \frac{9{,}85\times10^3}{3{,}85\times10^{-5}} \approx 2{,}6\times10^8.ç

Passo 5

Em termos de ordem de grandeza, isso equivale a
N \sim 10^8.

Resposta

A ordem de grandeza do número de fios de cabelo na cabeça humana é aproximadamente 10^8.

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