Um movimento harmônico possui uma amplitude de 0,01 \mathrm{~mm} e frequência de 50 Hz . Escrever a equação do movimento harmônico e determinar a máxima velocidade e a aceleração máxima.

Passo 1

O enunciado dá um movimento harmônico com amplitude A=0,01\,\mathrm{mm} e frequência f=50\,\mathrm{Hz}. Vamos escrever a equação x(t) desse movimento e determinar a velocidade máxima e a aceleração máxima. Para isso, primeiro convertamos a amplitude para o SI e depois usemos as fórmulas padrão do MHS.

Passo 2

Converter amplitude para metro e calcular a pulsação \omega:
A = 0,01\,\mathrm{mm} = 0{,}01\times10^{-3}\,\mathrm{m} = 1\times10^{-5}\,\mathrm{m}.
f = 50\,\mathrm{Hz}\quad\Longrightarrow\quad \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot50 = 100\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Escrever a equação do movimento harmônico simples (MHS), assumindo fase nula em t=0:
x(t) = A\cos(\omega t)
Portanto,
x(t) = 1\times10^{-5}\cos\bigl(100\pi\,t\bigr)\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Obter a velocidade v(t) pela derivada de x(t) e identificar v_{\max}:
v(t) = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -A\,\omega\,\sin(\omega t),
logo a velocidade máxima em módulo é
v_{\max} = A\,\omega = 1\times10^{-5}\times100\pi = \pi\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s} \approx 3{,}14\times10^{-3}\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

Obter a aceleração a(t) pela derivada de v(t) e identificar a_{\max}:
a(t) = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -A\,\omega^2\,\cos(\omega t),
logo a aceleração máxima em módulo é
a_{\max} = A\,\omega^2 = 1\times10^{-5}\times(100\pi)^2 = 0{,}1\,\pi^2\\ \mathrm{m/s^2} \approx 0{,}99\,\mathrm{m/s^2}.

Resposta

Equação do movimento:
x(t) = 1\times10^{-5}\cos\bigl(100\pi\,t\bigr)\\ \mathrm{m}
Velocidade máxima:
v_{\max} = \pi\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}\approx3{,}14\times10^{-3}\,\mathrm{m/s}
Aceleração máxima:
a_{\max} = 0{,}1\,\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}\approx0{,}99\,\mathrm{m/s^2}.

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