Quando a tecla do dó central do piano (freqüência de 262 Hz ) é tocada, ela perde metade de sua energia após 4,00 \mathrm{~s}. (a) Qual é o tempo de decaimento, \tau ? (b) Qual é o fator Q para esta corda do piano? (c) Qual é a perda relativa de energia por ciclo?
Nota: 262 Hz é a frequência natural.

Passo 1

O enunciado dá que a tecla tem frequência natural f=262\;\mathrm{Hz} e que a energia E(t) decai exponencialmente de modo que em t=4{,}00\;\mathrm{s} ela vale metade do valor inicial. Portanto usamos o modelo
E(t)=E_0\,e^{-t/\tau}
em que \tau é o tempo de decaimento (constante de tempo do decaimento de energia). Vamos achar \tau, depois o fator de qualidade Q e, por fim, a perda de energia por ciclo.

Passo 2

Para achar \tau impomos
E(4{,}00)=\tfrac12\,E_0
ou seja
E_0\,e^{-4{,}00/\tau}=\tfrac12\,E_0
Daí
e^{-4{,}00/\tau}=\tfrac12 \quad\longrightarrow\quad -\frac{4{,}00}{\tau}=\ln\bigl(\tfrac12\bigr)=-\ln2
portanto
\tau=\frac{4{,}00}{\ln2}\approx5{,}77\;\mathrm{s}.

Passo 3

O fator de qualidade Q de um oscilador amortecido está relacionado a \tau por
Q=\omega_0\,\tau
em que \omega_0=2\pi f. Então
\omega_0=2\pi\,(262\;\mathrm{Hz})\approx1{,}65\times10^3\;\mathrm{rad/s}
e
Q=(1{,}65\times10^3)\,(5{,}77)\approx9{,}5\times10^3.

Passo 4

A perda relativa de energia por ciclo é a fração de energia que se perde num intervalo de tempo igual ao período T=1/f. Usando
\Delta E/E=1-e^{-T/\tau},
como T=1/262\approx3{,}82\times10^{-3}\;\mathrm{s} e \tau=5{,}77\;\mathrm{s}, temos
\frac{\Delta E}{E}=1-\exp\bigl(-\tfrac{1/262}{5{,}77}\bigr)\approx1-\exp(-6{,}62\times10^{-4}) \approx6{,}62\times10^{-4}.
Em porcentagem, isso corresponde a cerca de 0{,}066\% de energia perdida a cada ciclo.

Resposta

(a) \tau\approx5{,}77\;\mathrm{s}.
(b) Q\approx9{,}5\times10^3.
(c) \displaystyle\frac{\Delta E}{E}\approx6{,}6\times10^{-4} ( \approx 0,066% por ciclo).

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