O movimento de uma partícula é expresso pela equação x(t)= 0,2 \cos (10 \pi t)+0,15 \operatorname{sen}(10 \pi t-\pi / 3), onde x é expresso em \mathrm{ft}(1 \mathrm{ft}=0,305 \mathrm{~m}) e t em segundos. Determinar o período do movimento, a amplitude, e o ângulo de fase.

Passo 1

O enunciado dá o movimento
x(t)=0,2\cos(10\pi t)+0,15\operatorname{sen}\bigl(10\pi t-\tfrac{\pi}{3}\bigr)
e pede o período, a amplitude e o ângulo de fase. Trata-se de um Movimento Harmônico Simples com frequência angular \omega.

Passo 2

Identificamos a frequência angular
\omega = 10\pi\\ \text{rad/s}
e usamos a relação do período
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0,2\\ \text{s}.

Passo 3

Para combinar os termos, reescrevemos
\operatorname{sen}\bigl(\omega t - \tfrac{\pi}{3}\bigr) = \operatorname{sen}(\omega t)\cos\tfrac{\pi}{3} - \cos(\omega t)\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{3} = \tfrac12\,\operatorname{sen}(\omega t)-\tfrac{\sqrt3}{2}\cos(\omega t).
Multiplicando por 0,15 fica
0,15\operatorname{sen}(\omega t-\tfrac{\pi}{3}) = 0,075\operatorname{sen}(\omega t) - 0,15\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\,\cos(\omega t).

Passo 4

Agrupando os termos em \cos(\omega t) e \operatorname{sen}(\omega t), obtemos
x(t)=A\cos(\omega t)+B\operatorname{sen}(\omega t),
com
A=0,2 - 0,15\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} \quad\text{e}\quad B=0,075.

Passo 5

A forma geral de um MHS é
x(t)=R\cos\bigl(\omega t - \varphi\bigr),
onde
R = \sqrt{A^2 + B^2}, \qquad \tan\varphi = \frac{B}{A}.

Passo 6

Calculando numericamente
A = 0,2 - 0,075\sqrt3 \approx 0,0701, \quad B = 0,075,
R = \sqrt{(0,0701)^2 + (0,075)^2} \approx 0,1027\\ \text{ft}, \qquad \varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{0,075}{0,0701}\bigr) \approx 0,822\\ \text{rad}\approx 47{,}1^\circ.

Resposta

Período: T=0,2 s
Amplitude: R\approx0,1027 ft
Ângulo de fase: \varphi\approx0,822 rad ( \approx 47,1\circ)

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