Para a solução da equação m \ddot{x}+k x=0, foi adotada a solução x(t)=C \cos \left(\omega_{n} t-\emptyset\right), sendo C e \omega_{\mathrm{n}} constantes, considerando as condições iniciais para t=0, \mathrm{x}(0)=\mathrm{x}_{0} e \dot{x}(0)=\dot{x}_{o}, determine a amplitude C do movimento e o ângulo de fase \varnothing em função de \mathrm{x}_{0}, \dot{x}_{o} e \omega_{n}.

Passo 1

O enunciado trata da equação do oscilador harmônico
m\,\ddot{x}+k\,x=0
cuja solução geral é assumida como
x(t)=C\cos\bigl(\omega_{n}t-\varphi\bigr)
com \omega_{n}=\sqrt{k/m}. Queremos determinar C e \varphi de modo que
x(0)=x_{0},\quad \dot{x}(0)=\dot{x}_{0}.

Passo 2

Avalia-se a solução em t=0:
x(0)=C\cos(-\varphi)=C\cos\varphi.
Como x(0)=x_{0}, segue
\cos\varphi=\frac{x_{0}}{C}.

Passo 3

Calcula-se a derivada
\dot{x}(t)=-C\,\omega_{n}\,\sin\bigl(\omega_{n}t-\varphi\bigr)
e avalia-se em t=0:
\dot{x}(0)=-C\,\omega_{n}\sin(-\varphi)=C\,\omega_{n}\sin\varphi.
Como \dot{x}(0)=\dot{x}_{0}, obtemos
\sin\varphi=\frac{\dot{x}_{0}}{C\,\omega_{n}}.

Passo 4

Usa-se a identidade trigonométrica \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1:
\Bigl(\frac{x_{0}}{C}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{\dot{x}_{0}}{C\,\omega_{n}}\Bigr)^{2}=1
\frac{x_{0}^{2}}{C^{2}}+\frac{\dot{x}_{0}^{2}}{C^{2}\,\omega_{n}^{2}}=1 \;\Longrightarrow\; C^{2}=x_{0}^{2}+\Bigl(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\Bigr)^{2} \;\Longrightarrow\; C=\sqrt{x_{0}^{2}+\Bigl(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\Bigr)^{2}}.

Passo 5

Para a fase, divide-se \sin\varphi por \cos\varphi:
\tan\varphi =\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} =\frac{\displaystyle\frac{\dot{x}_{0}}{C\,\omega_{n}}} {\displaystyle\frac{x_{0}}{C}} =\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}\,x_{0}} \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\arctan\!\Bigl(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}\,x_{0}}\Bigr),
lembrando que, em implementação numérica, pode‐se usar \mathrm{atan2}(\dot{x}_{0},\omega_{n}x_{0}) para garantir o quadrante correto.

Resposta

C=\sqrt{x_{0}^{2}+\Bigl(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}}\Bigr)^{2}} \quad\text{e}\quad \varphi=\arctan\!\Bigl(\frac{\dot{x}_{0}}{\omega_{n}\,x_{0}}\Bigr).

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