Se \varphi=x y^{3} z^{4} e \vec{r}=x z \vec{\imath}-y^{3} x \vec{\jmath}+3 x y^{2} z \vec{k}, calcular:
\nabla \cdot \vec{r}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\displaystyle \vec{r}(x,y,z)=x\,z\,\vec{\imath}-x\,y^{3}\,\vec{\jmath}+3\,x\,y^{2}\,z\,\vec{k}
e pede a divergência \nabla\cdot\vec{r}.
O conteúdo aqui é o operador divergência em coordenadas cartesianas, que envolve derivadas parciais de cada componente do vetor.

Passo 2

Lembrando a definição de divergência para
\displaystyle \vec{r}=(A_x,A_y,A_z):
\nabla\cdot\vec{r} =\frac{\partial A_x}{\partial x} +\frac{\partial A_y}{\partial y} +\frac{\partial A_z}{\partial z}.

Passo 3

Identificamos as componentes:
A_x=x\,z, A_y=-x\,y^3, A_z=3\,x\,y^2\,z.
Calculamos
\frac{\partial A_x}{\partial x} =\frac{\partial (x\,z)}{\partial x} =z.

Passo 4

Agora
\frac{\partial A_y}{\partial y} =\frac{\partial(-x\,y^3)}{\partial y} =-x\cdot3\,y^2 =-3\,x\,y^2.

Passo 5

E por fim
\frac{\partial A_z}{\partial z} =\frac{\partial(3\,x\,y^2\,z)}{\partial z} =3\,x\,y^2.

Passo 6

Somando os três termos:
\nabla\cdot\vec{r} =z+(-3\,x\,y^2)+(3\,x\,y^2) =z.

Resposta

\displaystyle \nabla\cdot\vec{r}=z

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