O movimento de uma membrana elástica quadrada de lado L que encontra-se num plano x y de um sistema de coordenadas com as bordas fixas é dado pela equação:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}=0
onde z(x, y, t) é o deslocamento transversal ao plano x y e v a velocidade de propagação de ondas na membrana.

Condições de Contorno

\begin{array}{cl} z(x, 0, t)=0, & 0 \leq x \leq L \\\ z(L, y, t)=0, & 0 \leq y \leq L \\\ z(x, L, t)=0, & 0 \leq x \leq L \\\ z(0, y, t)=0, & 0 \leq y \leq L \end{array}

Solução pelo Método de Separação de Variáveis

Assumindo z(x, y, t)=f(x) g(y) h(t), obtemos:
\frac{f^{\prime \prime}}{f}+\frac{g^{\prime \prime}}{g}=\frac{1}{v^{2}} \frac{h^{\prime \prime}}{h}
Definindo as constantes de separação:
f^{\prime \prime}+\alpha f=0, \quad g^{\prime \prime}+\beta g=0, \quad h^{\prime \prime}+v^{2}(\alpha+\beta) h=0

Anotações do Professor

\begin{gathered} x=\frac{1}{2} \times 4+\frac{1}{3} \times 6-\frac{1}{4} \times 5=0 \\\ F(x)=\alpha, \quad G(y)=\beta, \quad H(t)=\gamma \\\ \alpha+\beta-\frac{\gamma}{v^{2}}=0 \\\ L x=L x-\alpha L=0 \\\ \frac{L x}{9}=\frac{9 y}{9}-\beta \varphi=0 \\\ \frac{L y}{9}=\frac{9 y}{9}-\beta \varphi=0 \\\ \frac{L z}{9}=\frac{9 y}{9}-\beta \varphi=0 \\\ (\pi) \Rightarrow f(L) g(y) h(t)=0 \Rightarrow f(L)=0 \\\ (\pi) \Rightarrow f(0) g(y) h(t)=0 \Rightarrow f(0)=0 \end{gathered}

Notação Suportada:

\begin{gathered} L x=\lambda^{2} a e^{\lambda x}=\lambda^{2} L \\\ \Rightarrow\left(\lambda^{2}-\alpha\right) L=0 \Rightarrow \lambda= \pm \sqrt{\alpha} \end{gathered}
Solução para f(x) :
\begin{gathered} f(x)=a e^{\sqrt{\alpha} x}+b e^{-\sqrt{\alpha} x} \\\ f(0)=a+b=0 \Rightarrow a=-b \\\ f(L)=a\left(e^{\sqrt{\alpha} L}-e^{-\sqrt{\alpha} L}\right)=0 \Rightarrow e^{\sqrt{\alpha} L}=e^{-\sqrt{\alpha} L}=\frac{1}{e^{\sqrt{\alpha} L}} \end{gathered}

Problema

Termine o exercício, faça para g e h!

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de ondas bidimensional
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}}=0
numa membrana quadrada de lado L com bordas fixas, e já aplicamos a separação z(x,y,t)=f(x)g(y)h(t), obtendo as EDOs
f''+\alpha f=0,\quad g''+\beta g=0,\quad h''+v^{2}(\alpha+\beta)h=0
com condições de contorno
f(0)=f(L)=0,\quad g(0)=g(L)=0.
Já vimos que, para que f não seja trivial, \alpha>0 e
f(x)=\sin\bigl(\tfrac{m\pi}{L}x\bigr),\quad \alpha_m=\bigl(\tfrac{m\pi}{L}\bigr)^2,\quad m=1,2,\dots
Agora vamos resolver g(y) e depois h(t).

Passo 2

A equação para g é
g''(y)+\beta\,g(y)=0,
com
g(0)=0,\quad g(L)=0.
A solução geral quando \beta>0 é
g(y)=A\sin\bigl(\sqrt{\beta}\,y\bigr)+B\cos\bigl(\sqrt{\beta}\,y\bigr).
Impondo g(0)=0\Rightarrow B=0 e g(L)=0\Rightarrow A\sin(\sqrt{\beta}\,L)=0. Para não ficar trivial, \sqrt{\beta}\,L=n\pi com n=1,2,\dots. Logo
\beta_n=\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^2, \quad g_n(y)=\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{L}y\bigr).

Passo 3

Agora a equação para h é
h''(t)+v^{2}(\alpha_m+\beta_n)\,h(t)=0.
Definimos
\omega_{mn}=v\sqrt{\alpha_m+\beta_n} = v\sqrt{\bigl(\tfrac{m\pi}{L}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^2} =\frac{v\pi}{L}\sqrt{m^2+n^2}.
Assim, a solução geral é
h_{mn}(t) =C\cos\bigl(\omega_{mn}t\bigr) +D\sin\bigl(\omega_{mn}t\bigr),
onde C e D são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Cada modo normal da membrana é
z_{mn}(x,y,t) =\sin\bigl(\tfrac{m\pi}{L}x\bigr)\, \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{L}y\bigr)\, \bigl[C_{mn}\cos(\omega_{mn}t)+D_{mn}\sin(\omega_{mn}t)\bigr],
e a solução geral é a superposição
z(x,y,t) =\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \sin\bigl(\tfrac{m\pi}{L}x\bigr)\, \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{L}y\bigr)\, \bigl[C_{mn}\cos(\omega_{mn}t)+D_{mn}\sin(\omega_{mn}t)\bigr].

Resposta

Para g e \beta:
\beta_n=\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^2, \quad g_n(y)=\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{L}y\bigr), \quad n=1,2,\dots
Para h:
\omega_{mn}=\frac{v\pi}{L}\sqrt{m^2+n^2}, \quad h_{mn}(t)=C_{mn}\cos(\omega_{mn}t)+D_{mn}\sin(\omega_{mn}t).

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