O movimento de uma membrana elástica quadrada de lado
que encontra-se num plano
de um sistema de coordenadas com as bordas fixas é dado pela equação:
onde
é o deslocamento transversal ao plano
e
a velocidade de propagação de ondas na membrana.
Condições de Contorno
Solução pelo Método de Separação de Variáveis
Assumindo
, obtemos:
Definindo as constantes de separação:
Anotações do Professor
Notação Suportada:
Solução para
:
Problema
Termine o exercício, faça para g e h!
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de ondas bidimensional
numa membrana quadrada de lado
com bordas fixas, e já aplicamos a separação
, obtendo as EDOs
com condições de contorno
Já vimos que, para que
não seja trivial,
e
Agora vamos resolver
e depois
.
Passo 2
A equação para
é
com
A solução geral quando
é
Impondo
e
. Para não ficar trivial,
com
. Logo
Passo 3
Agora a equação para
é
Definimos
Assim, a solução geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Cada modo normal da membrana é
e a solução geral é a superposição
Resposta
Para
e
:
Para
: