O movimento de uma partícula no plano é dado pela equação
Determine a trajetória da partícula no plano, supondo que ela parta do ponto
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais que governa o movimento de uma partícula no plano:
com condição inicial
. Esse é um sistema linear de primeira ordem que descreve rotação uniforme. Para achar a trajetória, vamos reduzir a ordem e obter uma equação para
.
Passo 2
Derivamos a primeira equação em relação a
:
Usando a segunda equação temos
. Logo,
que é a equação do oscilador harmônico simples.
Passo 3
A equação
tem solução geral
Impondo as condições iniciais:
dá
, e
dá
. Assim
Passo 4
Para
usamos
. Integramos:
Como
, segue
. Logo
Passo 5
Agora relacionamos
e
para eliminar o parâmetro
. De
e
obtemos
Isso mostra que a partícula descreve um círculo de raio
centrado na origem.
Resposta
A trajetória é o círculo de equação