O movimento de uma partícula no plano é dado pela equação
\left\{\begin{aligned} \frac{d x}{d t} & =-y \\\ \frac{d y}{d t} & =x . \end{aligned}\right.
Determine a trajetória da partícula no plano, supondo que ela parta do ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais que governa o movimento de uma partícula no plano:
\begin{cases} \displaystyle \frac{d x}{d t} = -y,\\\ \displaystyle \frac{d y}{d t} = x, \end{cases}
com condição inicial (x(0),y(0))=(0,1). Esse é um sistema linear de primeira ordem que descreve rotação uniforme. Para achar a trajetória, vamos reduzir a ordem e obter uma equação para x(t).

Passo 2

Derivamos a primeira equação em relação a t:
\frac{d^2 x}{d t^2} \;=\;\frac{d}{d t}\biggl(\frac{d x}{d t}\biggr) \;=\;\frac{d}{d t}(-y) \;=\;-\,\frac{d y}{d t}.
Usando a segunda equação temos \tfrac{d y}{d t}=x. Logo,
\frac{d^2 x}{d t^2} = -x
que é a equação do oscilador harmônico simples.

Passo 3

A equação
\frac{d^2 x}{d t^2} + x = 0
tem solução geral
x(t) = A\cos t + B\sin t.
Impondo as condições iniciais: x(0)=0 A=0, e \dot x(0)=\tfrac{d x}{d t}(0)=-y(0)=-1 B=-1. Assim
x(t) = -\sin t.

Passo 4

Para y(t) usamos \tfrac{d y}{d t}=x(t). Integramos:
y(t) = \int x(t)\,dt = \int (-\sin t)\,dt = \cos t + C.
Como y(0)=1, segue C=0. Logo
y(t) = \cos t.

Passo 5

Agora relacionamos x e y para eliminar o parâmetro t. De x(t)=-\sin t e y(t)=\cos t obtemos
x^2 + y^2 = (-\sin t)^2 + (\cos t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t = 1.
Isso mostra que a partícula descreve um círculo de raio 1 centrado na origem.

Resposta

A trajetória é o círculo de equação
x^2 + y^2 = 1.

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