Resolva:
\frac{d y}{d x}=x^{2}-y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = x^{2} - y.
Este é um caso de equação linear do tipo
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
onde vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão identificando P(x) e Q(x):
\frac{dy}{dx} + y = x^{2},
logo P(x)=1 e Q(x)=x^{2}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de um produto:
e^{x}\frac{dy}{dx} + e^{x}y = x^{2}e^{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x}\bigr) = x^{2}e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{x} = \int x^{2}e^{x}\,dx + C.
Para calcular \displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx usamos integração por partes repetida:
u = x^{2}, dv = e^{x}dx
du = 2x\,dx, v = e^{x}.
Então
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int 2x\,e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\bigl(xe^{x} - \int e^{x}dx\bigr) = e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) + C.

Passo 6

Substituindo em y\,e^{x} = e^{x}(x^{2}-2x+2) + C e isolando y, dividimos por e^{x}:
y = x^{2} - 2x + 2 + C\,e^{-x}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = x^{2} - 2x + 2 + C\,e^{-x},
onde C é a constante arbitrária de integração.

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