Resolva:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo envolvido é transformação de uma equação de Riccati em equação linear por meio da substituição
.
Passo 2
Para
, dividimos ambos os lados por
:
Isso é uma equação de Riccati do tipo
. Faremos a troca
Passo 3
Derivando
em relação a
:
Substituindo
, vem
Logo obtemos a equação linear
Passo 4
Para resolver
usamos fator integrante
. Multiplicando:
Integrando em
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Voltando a
,
Multiplicando numerador e denominador por
, definindo
, fica
Não esqueça também da solução trivial
.
Resposta
A solução geral é
onde
é constante arbitrária.