Resolva:
y \frac{d y}{d x}=y^{2}-e^{2 x} y^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y \frac{dy}{dx} = y^{2} - e^{2x} y^{3}.
O conteúdo envolvido é transformação de uma equação de Riccati em equação linear por meio da substituição u=1/y.

Passo 2

Para y\neq 0, dividimos ambos os lados por y:
\frac{dy}{dx} = y - e^{2x}y^{2}.
Isso é uma equação de Riccati do tipo \frac{dy}{dx}=q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}. Faremos a troca
u=\frac{1}{y}.

Passo 3

Derivando u em relação a x:
\frac{du}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Substituindo \frac{dy}{dx}=y - e^{2x}y^{2}, vem
\frac{du}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\bigl(y - e^{2x}y^{2}\bigr) = -\frac{1}{y} + e^{2x} = -u + e^{2x}.
Logo obtemos a equação linear
\frac{du}{dx} + u = e^{2x}.

Passo 4

Para resolver
\frac{du}{dx} + u = e^{2x}
usamos fator integrante \mu(x)=e^{\int1\,dx}=e^{x}. Multiplicando:
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{x}\bigr) = e^{x}\,e^{2x} = e^{3x}.
Integrando em x:
u\,e^{x} = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando a y,
u = \frac{1}{y} = \frac{1}{3}e^{2x} + C e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{\tfrac{1}{3}e^{2x} + C e^{-x}}.
Multiplicando numerador e denominador por 3e^{x}, definindo K=3C, fica
y(x) = \frac{3e^{x}}{e^{3x} + K}.
Não esqueça também da solução trivial y(x)=0.

Resposta

A solução geral é
y(x)=0 \quad\text{ou}\quad y(x)=\frac{3e^{x}}{e^{3x}+K},
onde K é constante arbitrária.

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