Em uma progressão geométrica com primeiro termo a1 e razão q, sabe-se que a soma dos 2°, 4° e 7º termos é 111 e que a soma dos 3º, 5º e 8º termos é 222. Qual é o primeiro termo e a razão, respectivamente, dessa progressão geométrica?

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema. Temos uma progressão geométrica onde o primeiro termo é $ a_1 $ e a razão é $ q $. Sabemos que a soma do 2º, 4º e 7º termos é 111, e a soma do 3º, 5º e 8º termos é 222. Nosso objetivo é descobrir quanto vale $ a_1 $ e qual é o valor de $ q $.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar como encontrar qualquer termo de uma progressão geométrica (PG). A fórmula geral para o n-ésimo termo é:
an = a1 cdot q^n-1
Isso significa que, para qualquer posição $ n $, conseguimos calcular o termo correspondente conhecendo o primeiro termo $ a_1 $ e a razão $ q $.

Passo 3

Vamos identificar os termos que aparecem nas somas fornecidas no enunciado usando a fórmula da PG:
  • 2º termo ($ a_2 $):
    a2
  • 4º termo ($ a_4 $):
    a2 = a1 cdot q^2-1 = a1 cdot q
  • 7º termo ($ a_7 $):
    a4
A soma desses três termos é:
a4 = a1 cdot q^4-1 = a1 cdot q^3

Passo 4

De forma similar, vamos expressar os outros termos:
  • 3º termo ($ a_3 $):
    a3
  • 5º termo ($ a_5 $):
    a3 = a1 cdot q^3-1 = a1 cdot q^2
  • 8º termo ($ a_8 $):
    a5
A soma desses três termos é:
a5 = a1 cdot q^5-1 = a1 cdot q^4

Passo 5

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
  1. $ a_1 q + a_1 q^3 + a_1 q^6 = 111 $
  2. $ a_1 q^2 + a_1 q^4 + a_1 q^7 = 222 $
Podemos fatorar $ a_1 $ em ambas as equações:
  1. $ a_1 q (1 + q^2 + q^5) = 111 $ \quad [Eq1]
  2. $ a_1 q^2 (1 + q^2 + q^5) = 222 $ \quad [Eq2]

Passo 6

Observamos que as expressões dentro dos parênteses são iguais em ambas as equações. Para simplificar, vamos dividir a Eq2 pela Eq1:
a1 q^2 (1 + q^2 + q^5)a1 q (1 + q^2 + q^5) = 222111
Simplificando os termos semelhantes:
q^2q = 2
q = 2
Descobrimos que a razão $ q $ é igual a 2.

Passo 7

Agora que sabemos que $ q = 2 $, vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar $ a_1 $. Vamos usar a Eq1:
q = 2
Calculando os expoentes:
a1
Então:
a1 cdot 2 (1 + 2^2 + 2^5) = 111
1 + 4 + 32 = 37
2 cdot 37 cdot a1 = 111

Resposta

O primeiro termo da progressão geométrica é $ \frac{3}{2} $ e a razão é $ 2 $.

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