Se mu0 é uma pré-medida em A, prove que se A subset B, com A, B in A, então mu0(A) <= mu0(B).

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para provar que, se mu0 é uma pré-medida em A, e se A está contido em B com A, B in A, então mu0(A) <= mu0(B). Vamos usar conceitos de teoria das medidas, especificamente sobre pré-medidas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma pré-medida. Uma pré-medida é uma função mu0 que associa a cada conjunto A em uma certa coleção de conjuntos, um número não-negativo, seguindo algumas propriedades básicas como ser não-negativa e ser monotônica. A propriedade de monotonicidade é justamente o que queremos provar: se A subset B, então mu0(A) <= mu0(B).

Passo 3

Vamos assumir que A subset B. Isso significa que todo elemento de A também pertence a B. Como mu0 é uma pré-medida, uma das propriedades fundamentais dela é que ela é monotônica, ou seja, se A subset B, então a medida de A não pode ser maior que a medida de B.

Passo 4

Para ser mais preciso, pela definição de pré-medida, temos que para quaisquer A, B in A, se A subset B, a medida mu0(A) deve ser menor ou igual a mu0(B). Isso vem diretamente da propriedade de monotonicidade que toda pré-medida deve satisfazer.

Passo 5

Então, aplicando essa propriedade diretamente ao nosso caso, já que A subset B e ambas estão na coleção A, concluímos que mu0(A) <= mu0(B). Não precisamos de passos adicionais porque a propriedade de monotonicidade já nos dá exatamente o que precisamos.

Resposta

Portanto, se mu0 é uma pré-medida em A e A subset B com A, B in A, então mu0(A) <= mu0(B).

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