Se
é uma pré-medida em
, prove que se
, com
, então
.
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para provar que, se
é uma pré-medida em
, e se
está contido em
com
, então
. Vamos usar conceitos de teoria das medidas, especificamente sobre pré-medidas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma pré-medida. Uma pré-medida é uma função
que associa a cada conjunto
em uma certa coleção de conjuntos, um número não-negativo, seguindo algumas propriedades básicas como ser não-negativa e ser monotônica. A propriedade de monotonicidade é justamente o que queremos provar: se
, então
.
Passo 3
Vamos assumir que
. Isso significa que todo elemento de
também pertence a
. Como
é uma pré-medida, uma das propriedades fundamentais dela é que ela é monotônica, ou seja, se
, então a medida de
não pode ser maior que a medida de
.
Passo 4
Para ser mais preciso, pela definição de pré-medida, temos que para quaisquer
, se
, a medida
deve ser menor ou igual a
. Isso vem diretamente da propriedade de monotonicidade que toda pré-medida deve satisfazer.
Passo 5
Então, aplicando essa propriedade diretamente ao nosso caso, já que
e ambas estão na coleção
, concluímos que
. Não precisamos de passos adicionais porque a propriedade de monotonicidade já nos dá exatamente o que precisamos.
Resposta
Portanto, se
é uma pré-medida em
e
com
, então
.