Prove que a interseção de dois h-intervalos é um h-intervalo, e o complementar de um h-intervalo é um h-intervalo ou a união disjunta de dois h-intervalos.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar duas coisas sobre h-intervalos:
  1. A interseção de dois h-intervalos é também um h-intervalo.
  2. O complementar de um h-intervalo é um h-intervalo ou a união disjunta de dois h-intervalos.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um h-intervalo e usar propriedades básicas de conjuntos e intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é um h-intervalo. Embora o termo possa variar dependendo do contexto, vamos considerar que um h-intervalo é um intervalo na linha real, como [a, b], (a, b), [a, b) ou (a, b], onde a e b são números reais com a < b.

Passo 3

Prova da primeira parte: Mostrar que a interseção de dois h-intervalos é também um h-intervalo.
Vamos considerar dois h-intervalos qualquer:
I1 = [a1, b1]
I2 = [a2, b2]
A interseção I1 cap I2 será um conjunto de todos os pontos que estão em ambos os intervalos.

Passo 4

Para encontrar I1 cap I2, precisamos identificar o maior valor inicial e o menor valor final entre os dois intervalos.
Então,
I1 cap I2 = [max(a1, a2), min(b1, b2)]
Se max(a1, a2) <= min(b1, b2), a interseção será um intervalo válido. Caso contrário, a interseção será vazia.

Passo 5

Como a interseção de dois h-intervalos resulta em outro intervalo ou no conjunto vazio, concluímos que a interseção de dois h-intervalos é também um h-intervalo.

Passo 6

Prova da segunda parte: Mostrar que o complementar de um h-intervalo é um h-intervalo ou a união disjunta de dois h-intervalos.
Vamos considerar o complemento de um h-intervalo I = [a, b] no conjunto dos números reais R.
I^c = R setminus [a, b] = (-infty, a) cup (b, +infty)

Passo 7

O complementar I^c consiste em dois intervalos:
  1. (-infty, a)
  2. (b, +infty)
Esses dois intervalos são disjuntos, ou seja, não têm pontos em comum.

Passo 8

Portanto, o complementar de um h-intervalo I é a união disjunta de dois h-intervalos: (-infty, a) e (b, +infty).

Resposta

Concluímos que a interseção de dois h-intervalos é sempre um h-intervalo, e o complementar de um h-intervalo é ou um h-intervalo ou a união disjunta de dois h-intervalos.

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