Prove que a interseção de dois
-intervalos é um
-intervalo, e o complementar de um
-intervalo é um
-intervalo ou a união disjunta de dois
-intervalos.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar duas coisas sobre h-intervalos:
- A interseção de dois h-intervalos é também um h-intervalo.
- O complementar de um h-intervalo é um h-intervalo ou a união disjunta de dois h-intervalos.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um h-intervalo e usar propriedades básicas de conjuntos e intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é um h-intervalo. Embora o termo possa variar dependendo do contexto, vamos considerar que um h-intervalo é um intervalo na linha real, como
,
,
ou
, onde
e
são números reais com
.
Passo 3
Prova da primeira parte: Mostrar que a interseção de dois h-intervalos é também um h-intervalo.
Vamos considerar dois h-intervalos qualquer:
A interseção
será um conjunto de todos os pontos que estão em ambos os intervalos.
Passo 4
Para encontrar
, precisamos identificar o maior valor inicial e o menor valor final entre os dois intervalos.
Então,
Se
, a interseção será um intervalo válido. Caso contrário, a interseção será vazia.
Passo 5
Como a interseção de dois h-intervalos resulta em outro intervalo ou no conjunto vazio, concluímos que a interseção de dois h-intervalos é também um h-intervalo.
Passo 6
Prova da segunda parte: Mostrar que o complementar de um h-intervalo é um h-intervalo ou a união disjunta de dois h-intervalos.
Vamos considerar o complemento de um h-intervalo
no conjunto dos números reais
.
Passo 7
O complementar
consiste em dois intervalos:
Esses dois intervalos são disjuntos, ou seja, não têm pontos em comum.
Passo 8
Portanto, o complementar de um h-intervalo
é a união disjunta de dois h-intervalos:
e
.
Resposta
Concluímos que a interseção de dois h-intervalos é sempre um h-intervalo, e o complementar de um h-intervalo é ou um h-intervalo ou a união disjunta de dois h-intervalos.