Use coordenadas esféricas. Calcule , onde é o sólido que está entre as esferas e no primeiro octante.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre o sólido , que está entre as esferas de raio 1 e 2 no primeiro octante. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para integrais envolvendo esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas :
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano (azimute) e é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (inclinação).
Passo 3
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Vamos também identificar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante:
0 <= theta <= pi2, 0 <= phi <= pi2, 1 <= rho <= 2
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas esféricas. Sabemos que x e^(x^2+y^2+z^2)^2 = rho sinphi costheta cdot e^rho^4 e . Então:
Passo 5
Substituindo tudo na integral tripla, temos:
integral triplaE x e^(x^2+y^2+z^2)^2 dV = integral0^pi2 integral0^pi2 integral1^2 rho sinphi costheta cdot e^rho^4 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Vamos separar a integral em partes que dependem somente de = ( integral1^2 rho^3 e^rho^4 , drho ) ( integral0^pi2 sin^2phi , dphi ) ( integral0^pi2 costheta , dtheta ) , e :