Use coordenadas esféricas. Calcule integral triplaE x e^(x^2+y^2+z^2)^2 d V, onde E é o sólido que está entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4 no primeiro octante.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre o sólido , que está entre as esferas de raio 1 e 2 no primeiro octante. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para integrais envolvendo esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas cartesianas x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi para coordenadas esféricas :
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano (azimute) e é o ângulo entre o vetor posição e o eixo (inclinação).

Passo 3

Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Vamos também identificar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante:
0 <= theta <= pi2, 0 <= phi <= pi2, 1 <= rho <= 2

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando em coordenadas esféricas. Sabemos que x e^(x^2+y^2+z^2)^2 = rho sinphi costheta cdot e^rho^4 e . Então:

Passo 5

Substituindo tudo na integral tripla, temos:
integral triplaE x e^(x^2+y^2+z^2)^2 dV = integral0^pi2 integral0^pi2 integral1^2 rho sinphi costheta cdot e^rho^4 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando os termos:
= integral0^pi2 integral0^pi2 integral1^2 rho^3 sin^2phi costheta cdot e^rho^4 , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos separar a integral em partes que dependem somente de = ( integral1^2 rho^3 e^rho^4 , drho ) ( integral0^pi2 sin^2phi , dphi ) ( integral0^pi2 costheta , dtheta ) , e :

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
  1. Para integral1^2 rho^3 e^rho^4 , drho :
14 integral1^16 e^u , du = 14 [ e^u ]1^16 = 14 (e^16 - e^1)
Vamos fazer uma substituição integral0^pi2 sin^2phi , dphi , então 12 integral0^pi2 (1 - cos(2phi)) , dphi = 12 [ phi - sin(2phi)2 ]0^pi2 = 12 ( pi2 - 0 ) = pi4 , ou seja, integral0^pi2 costheta , dtheta = [ sintheta ]0^pi2 = 1 - 0 = 1 .
Mudando os limites:
Quando , .
Quando , .
Assim, a integral fica:
  1. Para :
Usamos a identidade :
  1. Para :

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais:
14 (e^16 - e) cdot pi4 cdot 1 = pi16 (e^16 - e)

Resposta

O valor da integral tripla é .

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