Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas. (raiz(2), pi / 4, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mudar as coordenadas de cilíndricas para esféricas. Primeiro, vamos entender o que cada tipo de coordenada significa e quais fórmulas a gente vai precisar para fazer essa conversão.

Passo 2

Então, coordenadas cilíndricas são dadas por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto até o eixo z,
  • theta é o ângulo em torno do eixo z,
  • z é a altura do ponto.
Já as coordenadas esféricas são dadas por , onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem,
  • phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z,
  • theta é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas.
Para converter de cilíndricas para esféricas, a gente vai usar as seguintes fórmulas:
E como o theta é o mesmo, não precisamos mudar ele.

Passo 3

Vamos aplicar essas fórmulas com os valores que a gente tem:
Primeiro, calculamos rho:
Agora, calculamos phi:
Como dividir por zero não dá certo, percebemos que quando , o ponto está no plano xy e o ângulo phi é pi / 2 radianos (90 graus).

Resposta

As coordenadas esféricas são (raiz(2), pi/2, pi/4).

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