Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mudar as coordenadas de cilíndricas para esféricas. Primeiro, vamos entender o que cada tipo de coordenada significa e quais fórmulas a gente vai precisar para fazer essa conversão.
Passo 2
Então, coordenadas cilíndricas são dadas por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura do ponto.
Já as coordenadas esféricas são dadas por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo , -
é o mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas.
Para converter de cilíndricas para esféricas, a gente vai usar as seguintes fórmulas:
E como o
é o mesmo, não precisamos mudar ele.
Passo 3
Vamos aplicar essas fórmulas com os valores que a gente tem:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Como dividir por zero não dá certo, percebemos que quando
, o ponto está no plano
e o ângulo
é
radianos (90 graus).
Resposta
As coordenadas esféricas são
.