Mude de coordenadas cilíndricas para esféricas. (raiz(2), pi/4, pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente mudar coordenadas cilíndricas para esféricas. A gente vai precisar saber as fórmulas que fazem essa conversão e entender bem o que cada coordenada representa em cada sistema. Então, nosso objetivo é pegar as coordenadas cilíndricas e encontrar as correspondentes coordenadas esféricas .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que cada coordenada representa nos sistemas cilíndrico e esférico:
  • Nas coordenadas cilíndricas , é a distância do ponto ao eixo , é o ângulo em torno do eixo , e é a altura.
  • Nas coordenadas esféricas , é a distância do ponto à origem, é o ângulo em torno do eixo (igual ao das cilíndricas), e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

A gente vai usar as seguintes fórmulas para converter de cilíndricas para esféricas:
O ângulo permanece o mesmo em ambos os sistemas.

Passo 4

Vamos identificar os valores das coordenadas cilíndricas que temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular usando a fórmula:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular :
Esse valor pode ser deixado como está, a menos que você queira uma aproximação decimal.

Resposta

As coordenadas esféricas correspondentes são:

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