Use coordenadas esféricas. Calcule , onde está entre as esferas e acima do cone .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região que está entre as esferas e e acima do cone . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões com simetria esférica e cônica. Vamos precisar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e entender como configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar em coordenadas esféricas. Sabemos que:
Então, fica:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Portanto, a integral que queremos calcular é:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
varia entre as duas esferas, então de 1 a 3.
está acima do cone , o que significa que varia de 0 a .
varia ao redor da esfera, de 0 a .
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral começando por :
Sabemos que:
Então, agora temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral em :
Para resolver isso, usamos a técnica de substituição:
Fazendo a substituição , , obtemos:
Voltando para :
Avaliado de 0 a :
Sabendo que e , temos:
Passo 6
Por fim, resolvemos a integral em integral1^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]1^3 = 3^5 - 1^55 = 243 - 15 = 2425 :
Resposta
Multiplicando todas as partes, a integral total é:
integral triplaE x^2 , dV = 2425 times 8 - 5raiz212 times pi = 12130 (8 - 5raiz2) pi