Use coordenadas esféricas. Calcule integral triplaE x^2 d V, onde E está entre as esferas rho=1 e rho=3 e acima do cone phi=pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região que está entre as esferas e e acima do cone . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões com simetria esférica e cônica. Vamos precisar das fórmulas de conversão para coordenadas esféricas e entender como configurar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar x = rho sinphi costheta em coordenadas esféricas. Sabemos que:
x^2 = rho^2 sin^2phi cos^2theta
Então, dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta fica:
integral triplaE x^2 , dV = integral triplaE rho^2 sin^2phi cos^2theta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaE rho^4 sin^3phi cos^2theta , drho , dphi , dtheta
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Portanto, a integral que queremos calcular é:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
  • integral1^3 integral0^pi4 integral0^2pi rho^4 sin^3phi cos^2theta , dtheta , dphi , drho varia entre as duas esferas, então de 1 a 3.
  • está acima do cone , o que significa que varia de 0 a .
  • varia ao redor da esfera, de 0 a .
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral começando por integral0^2pi cos^2theta , dtheta :
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Sabemos que:
integral1^3 integral0^pi4 rho^4 sin^3phi cdot pi , dphi , drho
Então, agora temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral em integral0^pi4 sin^3phi , dphi :
integral sin^3phi , dphi = integral sinphi (1 - cos^2phi) , dphi
Para resolver isso, usamos a técnica de substituição:
-integral (1 - u^2) , du = -u + u^33 + C
Fazendo a substituição -cosphi + cos^3phi3 , [ -cos(pi4) + cos^3(pi4)3 ] - [ -cos0 + cos^303 ] , obtemos:
[ -raiz22 + (raiz22)^33 ] - [ -1 + 13 ] = 8 - 5raiz212
Voltando para :
Avaliado de 0 a :
Sabendo que e , temos:

Passo 6

Por fim, resolvemos a integral em integral1^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]1^3 = 3^5 - 1^55 = 243 - 15 = 2425 :

Resposta

Multiplicando todas as partes, a integral total é:
integral triplaE x^2 , dV = 2425 times 8 - 5raiz212 times pi = 12130 (8 - 5raiz2) pi
Então, a resposta final é:
12130 (8 - 5raiz2) pi

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