Suponha que o vetor unitário \hat{i} aponta para leste, o vetor unitário \hat{j} aponta para o norte e o vetor unitário \hat{\mathrm{k}} aponta para cima. Quanto valem os produtos
Quais são as orientações (como, por exemplo, para leste ou para baixo) dos produtos (e) (-\hat{i}) \times(-\hat{j})

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dito que os vetores unitários têm as direções: \hat{\imath} aponta para leste, \hat{\jmath} aponta para norte e \hat{k} aponta para cima.
  • A pergunta é calcular o produto vetorial (e)\;(-\hat{\imath})\times(-\hat{\jmath}) e indicar a orientação (por exemplo: leste, norte, cima, baixo, etc.) desse produto.

Passo 2

Lembrete/propiedade útil do produto vetorial: se a e b são escalares e \mathbf{u}, \mathbf{v} são vetores, vale a linearidade em cada fator
(a\mathbf{u})\times(b\mathbf{v}) = ab\,(\mathbf{u}\times\mathbf{v}).
Aqui a e b são números reais (os escalares multiplicadores) e \mathbf{u}, \mathbf{v} são vetores. Isso significa que fatores escalares podem ser retirados do produto vetorial.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso pedido:
(-\hat{\imath})\times(-\hat{\jmath}) = (-1)(-1)\,(\hat{\imath}\times\hat{\jmath}) = 1\cdot(\hat{\imath}\times\hat{\jmath}).
Portanto o problema reduz-se a calcular \hat{\imath}\times\hat{\jmath}.

Passo 4

Regra básica entre os versores cartesianos (memorizada ou deduzida pelo determinante / regra da mão direita):
\hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k},\qquad \hat{\jmath}\times\hat{k}=\hat{\imath},\qquad \hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath},
e o produto é anticomutativo: \mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a}).
Explicação rápida e intuitiva: \hat{\imath} (leste) cruz \hat{\jmath} (norte) resulta em \hat{k} (cima), que é a regra ciclicamente consistente com a mão direita.

Passo 5

Juntando os resultados:
(-\hat{\imath})\times(-\hat{\jmath}) = \hat{\imath}\times\hat{\jmath} = \hat{k}.

Passo 6

Interpretação geométrica/orientação:
  • \hat{k} foi definido como “para cima”.
  • Assim, o produto vetorial encontra-se apontando para cima.

Resposta

\hat{k}
para cima

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