Questão 01 - (2,5 pts.) Um fio reto longo possui cargas negativas fixas com uma densidade linear de
. O fio é envolvido por uma casca coaxial cilindrica, não condutora, de paredes finas, com
de raio. A casca possui uma carga positiva na superficie externa, com uma densidade superficial
, que anula o campo elétrico do lado de fora da casca. Determine o valor de
.
:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a densidade superficial
da casca cilíndrica externa. Informações relevantes do enunciado:
- Um fio reto longo possui cargas negativas fixas com densidade linear
. (Observação: a densidade é negativa segundo o enunciado — vou tratar o sinal explicitamente.) - A casca coaxial cilíndrica, não condutora, de paredes finas tem raio
. - A casca possui carga positiva apenas na superfície externa, com densidade superficial
, de modo que o campo elétrico do lado de fora da casca é anulado (isto é, para ). - Relações fornecidas:
e , onde é um comprimento do cilindro e é a área da superfície carregada.
Passo 2
Princípio físico usado (explicado passo a passo): a lei de Gauss.
A lei de Gauss diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por :
A lei de Gauss diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por
Aqui:
-
é o campo elétrico, -
é o elemento de área vetorial da superfície fechada, -
é a carga total dentro da superfície, -
é a permissividade do vácuo (constante, mas não precisaremos do seu valor numérico porque o enunciado nos dá que ).
Como o enunciado afirma que o campo elétrico fora da casca é nulo (para
), se eu fizer uma superfície gaussiana que envolve o fio e a casca (por exemplo um cilindro coaxial de raio maior que
e comprimento
), o lado esquerdo da lei de Gauss é zero. Logo o lado direito deve ser zero, o que implica que a carga total encerrada por essa superfície também é zero:
Isto significa que a soma da carga do fio e da carga da casca (na superfície externa) precisa ser zero.
Passo 3
Escrever a condição de neutralidade de carga dentro da superfície gaussiana:
Escolho um comprimento arbitrário do sistema (o problema é extenso e homogêneo em
), então:
Escolho um comprimento arbitrário
- carga do fio dentro de
: . - área da superfície externa da casca correspondente a esse comprimento
: (área lateral de um cilindro fino). - carga da casca na superfície externa:
.
A condição
dá:
Como
é comum e não nulo, posso simplificar dividindo por
:
Isolando
:
Aqui explico os sinais: se
for negativo (fio carregado negativamente), então
será positivo e
ficará positiva — coerente com o enunciado que diz a casca tem carga positiva.
Passo 4
Substituir os valores numéricos com cuidado de unidades (fazer conversão para SI):
- dado
e o fio é negativo segundo o enunciado, tomo . - dado
.
Usando a fórmula
:
Calculo passo a passo:
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados):
Passo 5
Verificação de consistência e interpretação:
- Unidade:
tem unidade de carga por área, , OK. - Sinal:
positive, coerente com o enunciado que a casca é carregada positivamente para anular o campo externo. - Conceito físico: a casca precisa ter carga por unidade de comprimento igual em módulo e oposta à do fio, distribuída ao longo da superfície externa, de modo que as cargas se cancelem para observadores externos, resultando em
.