Questão 01 - (2,5 pts.) Um fio reto longo possui cargas negativas fixas com uma densidade linear de 6,3 \mathrm{nC} / \mathrm{m}. O fio é envolvido por uma casca coaxial cilindrica, não condutora, de paredes finas, com 5,1 \mathrm{~cm} de raio. A casca possui uma carga positiva na superficie externa, com uma densidade superficial \sigma, que anula o campo elétrico do lado de fora da casca. Determine o valor de \sigma. [q=\lambda L ; q=\sigma A]
R : \_\_\_\_

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a densidade superficial \sigma da casca cilíndrica externa. Informações relevantes do enunciado:
  • Um fio reto longo possui cargas negativas fixas com densidade linear \lambda = 6{,}3\\ \mathrm{nC/m}. (Observação: a densidade é negativa segundo o enunciado — vou tratar o sinal explicitamente.)
  • A casca coaxial cilíndrica, não condutora, de paredes finas tem raio R = 5{,}1\\ \mathrm{cm}.
  • A casca possui carga positiva apenas na superfície externa, com densidade superficial \sigma, de modo que o campo elétrico do lado de fora da casca é anulado (isto é, \vec{E} = 0 para r>R).
  • Relações fornecidas: q = \lambda L e q = \sigma A, onde L é um comprimento do cilindro e A é a área da superfície carregada.

Passo 2

Princípio físico usado (explicado passo a passo): a lei de Gauss.
A lei de Gauss diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por \varepsilon_0:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Aqui:
  • \vec{E} é o campo elétrico,
  • d\vec{A} é o elemento de área vetorial da superfície fechada,
  • Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície,
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante, mas não precisaremos do seu valor numérico porque o enunciado nos dá que E_{\text{fora}}=0).
Como o enunciado afirma que o campo elétrico fora da casca é nulo (para r>R), se eu fizer uma superfície gaussiana que envolve o fio e a casca (por exemplo um cilindro coaxial de raio maior que R e comprimento L), o lado esquerdo da lei de Gauss é zero. Logo o lado direito deve ser zero, o que implica que a carga total encerrada por essa superfície também é zero:
Q_{\text{enc}} = 0.
Isto significa que a soma da carga do fio e da carga da casca (na superfície externa) precisa ser zero.

Passo 3

Escrever a condição de neutralidade de carga dentro da superfície gaussiana:
Escolho um comprimento arbitrário L do sistema (o problema é extenso e homogêneo em z), então:
  • carga do fio dentro de L: \;q_{\text{fio}}=\lambda L.
  • área da superfície externa da casca correspondente a esse comprimento L: \;A = 2\pi R L (área lateral de um cilindro fino).
  • carga da casca na superfície externa: \;q_{\text{casca}}=\sigma A = \sigma(2\pi R L).
A condição Q_{\text{enc}}=0 dá:
\lambda L + \sigma(2\pi R L) = 0.
Como L é comum e não nulo, posso simplificar dividindo por L:
\lambda + \sigma(2\pi R)=0.
Isolando \sigma:
\sigma = -\frac{\lambda}{2\pi R}.
Aqui explico os sinais: se \lambda for negativo (fio carregado negativamente), então -\lambda será positivo e \sigma ficará positiva — coerente com o enunciado que diz a casca tem carga positiva.

Passo 4

Substituir os valores numéricos com cuidado de unidades (fazer conversão para SI):
  • dado \lambda = 6{,}3\\ \mathrm{nC/m} e o fio é negativo segundo o enunciado, tomo \lambda = -6{,}3\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
  • dado R = 5{,}1\\ \mathrm{cm} = 5{,}1\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Usando a fórmula \sigma = -\dfrac{\lambda}{2\pi R}:
\sigma = -\frac{-6{,}3\times10^{-9}}{2\pi(5{,}1\times10^{-2})}.
Calculo passo a passo:
2\pi R = 2\pi(5{,}1\times10^{-2}) \approx 0{,}320442\\ \mathrm{m}.
\sigma \approx \frac{6{,}3\times10^{-9}}{0{,}320442}\\ \mathrm{C/m^{2}} \approx 1{,}966\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados):
\sigma \approx 1{,}97\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Passo 5

Verificação de consistência e interpretação:
  • Unidade: \sigma tem unidade de carga por área, \mathrm{C/m^{2}}, OK.
  • Sinal: \sigma positive, coerente com o enunciado que a casca é carregada positivamente para anular o campo externo.
  • Conceito físico: a casca precisa ter carga por unidade de comprimento igual em módulo e oposta à do fio, distribuída ao longo da superfície externa, de modo que as cargas se cancelem para observadores externos, resultando em E_{\text{fora}}=0.

Resposta

\sigma = 1{,}97\times10^{-8}\\ \mathrm{C/m^{2}}

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