A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2 / 5 e de sua mulher é 2 / 3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
a) ambos estejam vivos;
b) somente o homem esteja vivo;
c) somente a mulher esteja viva;
d) nenhum esteja vivo;
e) pelos menos um esteja vivo.

Passo 1

Neste exercício temos as probabilidades de sobrevivência em 30 anos: do homem é P(H)=tfrac25 e da mulher é P(M)=tfrac23. O conteúdo aqui é probabilidade de eventos independentes, usando a regra do produto P(Acap B)=P(A)cdot P(B), e também complementares P(A^c)=1-P(A).

Passo 2

Assumindo que a sobrevivência do homem e da mulher são eventos independentes, calculamos a probabilidade de ambos estarem vivos:
Aplicamos P(Hcap M)=P(H)cdot P(M)=tfrac25cdottfrac23=tfrac415.

Passo 3

Para achar a probabilidade de somente o homem estar vivo, precisamos de P(M^c)=1-P(M)=1-tfrac23=tfrac13. Então
P(Hcap M^c)=P(H)cdot P(M^c)=tfrac25cdottfrac13=tfrac215.

Passo 4

Para somente a mulher estar viva, primeiro P(H^c)=1-P(H)=1-tfrac25=tfrac35. Então
P(H^ccap M)=P(H^c)cdot P(M)=tfrac35cdottfrac23=tfrac615=tfrac25.

Passo 5

A probabilidade de nenhum dos dois estar vivo é
P(H^ccap M^c)=P(H^c)cdot P(M^c)=tfrac35cdottfrac13=tfrac15.

Passo 6

Por fim, a probabilidade de pelo menos um estar vivo é o complemento de nenhum estar vivo:
P(pelo menos um)=1-P(H^ccap M^c)=1-tfrac15=tfrac45

Resposta

a) 4/15; b) 2/15; c) 2/5; d) 1/5; e) 4/5.

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