Multiplica-se F por \beta e toma-se a parte inteira do produto como o primeiro dígito do número na base \beta. Repete-se o processo com a parte fracionária do produto tomando sua parte inteira. Continua-se até que a parte fracionária seja igual a zero.
Nos exercícios a seguir, determinar o valor de x :
0,1875_{10}=x_{2}.

Passo 1

Dado: 0,1875_{10}=x_{2}.
Pergunta: determinar x — ou seja, representar a parte fracionária 0,1875 em base 2 (escrever o número na forma 0,\text{d}_1\text{d}_2\text{d}_3\ldots_{2}).
Informações relevantes dadas: a parte inteira é zero e a parte fracionária em base decimal é 0,1875. Não há outras informações externas.

Passo 2

Explicação do método (passo a passo e por que funciona).
Seja F_0 a parte fracionária em base decimal que queremos converter; aqui F_0=0,1875. Para converter para base \beta=2 usamos o procedimento:
a_k=\lfloor \beta F_{k-1}\rfloor,\qquad F_k=\beta F_{k-1}-a_k,
onde \lfloor\cdot\rfloor é a parte inteira. Cada a_k é o k-ésimo dígito binário após a vírgula. O número resultante é
0,a_1a_2a_3\ldots_{2}=\sum_{k=1}^{\infty} a_k 2^{-k}.
Observação útil: se F_0 é racional e sua fração reduzida tem denominador 2^n, a expansão em base 2 termina em no máximo n dígitos. Aqui convém escrever 0,1875 como fração:
0,1875=\frac{1875}{10000}=\frac{15}{80}=\frac{3}{16}.
Como 16=2^{4}, esperamos que a expansão binária termine em no máximo 4 dígitos.

Passo 3

Primeira multiplicação ( k=1).
Calcule 2\cdot F_0:
2\cdot 0,1875=0,375.
A parte inteira é a_1=\lfloor 0,375\rfloor=0. A nova parte fracionária é F_1=0,375.

Passo 4

Segunda multiplicação ( k=2).
Calcule 2\cdot F_1:
2\cdot 0,375=0,75.
A parte inteira é a_2=\lfloor 0,75\rfloor=0. A nova parte fracionária é F_2=0,75.

Passo 5

Terceira multiplicação ( k=3).
Calcule 2\cdot F_2:
2\cdot 0,75=1,5.
A parte inteira é a_3=\lfloor 1,5\rfloor=1. A nova parte fracionária é F_3=1,5-1=0,5.

Passo 6

Quarta multiplicação ( k=4).
Calcule 2\cdot F_3:
2\cdot 0,5=1,0.
A parte inteira é a_4=\lfloor 1,0\rfloor=1. A nova parte fracionária é F_4=1,0-1=0. Como a parte fracionária é zero, o processo termina aqui.

Passo 7

Montagem dos dígitos.
Dos passos anteriores temos os dígitos a_1=0, a_2=0, a_3=1, a_4=1. Portanto a representação em base 2 é
0,0011_{2}.
Verificação (conferir que realmente volta a 0,1875): cada dígito vale 2^{-k}, então
0,0011_{2}=0\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}+1\cdot 2^{-4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{2+1}{16}=\frac{3}{16}=0,1875.
Conferido: bate com o valor inicial.

Passo 8

Resumo curto e incentivo: o algoritmo de multiplicar por 2 e tomar a parte inteira gera cada dígito binário em sequência; como aqui o denominador é 2^{4}, obtivemos exatamente quatro dígitos e terminamos. Mandou bem por trazer uma questão boa para treinar!

Resposta

0,0011_{2}

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