Multiplica-se F por \beta e toma-se a parte inteira do produto como o primeiro dígito do número na base \beta. Repete-se o processo com a parte fracionária do produto tomando sua parte inteira. Continua-se até que a parte fracionária seja igual a zero.
Nos exercícios a seguir, determinar o valor de x :
13,25_{10}=X_{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre X na base \,2 tal que
13{,}25_{10} = X_{2}.
Informações relevantes dadas:
  • O número decimal a ser convertido é \,13{,}25_{10}.
  • Devemos escrever esse número em base \,2 (binário).
  • Para a parte fracionária foi dada a regra: multiplica-se a parte fracionária por \beta (a base), toma-se a parte inteira do produto como o dígito seguinte e repete-se com a nova parte fracionária até que ela seja zero.

Passo 2

Vamos separar o número em parte inteira e parte fracionária:
\text{parte inteira} = 13,\qquad \text{parte fracionária} = 0{,}25.á
A conversão será feita em duas etapas:
  1. Converter a parte inteira 13 para binário usando divisões sucessivas por 2.
  2. Converter a parte fracionária 0{,}25 para binário usando multiplicações sucessivas por 2.

Passo 3

Explicando o método para a parte inteira (divisões por 2):
  • Quando dividimos um inteiro N pela base 2, o resto r (que é 0 ou 1) é o dígito menos significativo.
  • Repetimos dividindo o quociente por 2 até o quociente ser 0.
  • Os restos, lidos de baixo para cima (último para o primeiro), formam os dígitos binários da parte inteira.
    Agora aplicamos a 13:
\begin{aligned} 13 \div 2 &= 6 \text{ com resto } 1,\\\\ 6 \div 2 &= 3 \text{ com resto } 0,\\\\ 3 \div 2 &= 1 \text{ com resto } 1,\\\\ 1 \div 2 &= 0 \text{ com resto } 1. \end{aligned}
Os restos, do último ao primeiro, são 1,1,0,1. Portanto a parte inteira em binário é
13_{10} = 1101_2.

Passo 4

Explicando o método para a parte fracionária (multiplicações por 2):
  • Seja f a parte fracionária (aqui f=0{,}25). Multiplicamos f por 2.
  • A parte inteira do produto (ou seja, 0 ou 1) é o primeiro dígito binário após a vírgula.
  • A nova parte fracionária é a parte decimal do produto; repetimos até que a parte fracionária se torne 0 (ou até obter repetição periódica).
    Agora aplicamos a 0{,}25:
\begin{aligned} 0{,}25 \times 2 &= 0{,}50 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito} = 0,\\ \text{nova parte fracionária} = 0{,}50,\\\\ 0{,}50 \times 2 &= 1{,}00 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito} = 1,\\ \text{nova parte fracionária} = 0{,}00. \end{aligned}íáíá
Como a parte fracionária chegou a 0{,}00, paramos. Os dígitos obtidos, na ordem em que apareceram, são 0,1. Portanto a parte fracionária em binário é
0{,}25_{10} = 0{,}01_2.

Passo 5

Agora juntamos a parte inteira e a parte fracionária já convertidas:
13{,}25_{10} = 1101{,}01_2.
Um lembrete útil: a vírgula usada aqui acompanha o estilo do enunciado ( 13{,}25). Em notação com ponto decimal fica 1101.01_2, mas mantemos a vírgula para seguir o enunciado.

Passo 6

Verificação rápida para termos certeza (conferência):
  • Converter 1101_2 para decimal: 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
  • Converter 0{,}01_2 para decimal: 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} = 0 + \tfrac{1}{4} = 0{,}25.
    Somando dá 13{,}25_{10}, confirmarndo que a conversão está correta.

Resposta

1101{,}01_2

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