Um número na base \beta pode ser escrito, na base decimal, como:
\sum_{i=n}^{m} a_{i} \beta^{i}=a_{m} \beta^{m}+a_{m-1} \beta^{m-1}+\ldots+a_{2} \beta^{2}+a_{1} \beta+a_{0}+a_{-1} \beta^{-1}+a_{-2} \beta^{-2}+\ldots+a_{n+1} \beta^{n+1}+a_{n} \beta^{n}.
Nos exercícios a seguir, faça a conversão da base indicada para a decimal, determinando o valor da variável x.
403,12_{5}=x_{10}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente converta o número \,403,12_{5}\, (base \,5\,) para a base decimal e determine a variável x tal que \,403,12_{5}=x_{10}.\n
Informações dadas e importantes:
  • O número em base \,5 é \,403,12_{5}.
  • Os dígitos são, da esquerda para a direita: 4,\;0,\;3 na parte inteira e 1,\;2 na parte fracionária.
  • Cada dígito é um inteiro entre 0 e 4 (inclusive), pois a base é \,5.

Passo 2

Explicando o princípio posicional (aularinho rápido): em qualquer base \beta, cada dígito ocupa uma posição com peso \beta^{k}, onde k é um inteiro que indica a posição relativa ao separador decimal. Para a parte inteira k\ge0 (com k=0 na unidade), e para a parte fracionária k<0.
Aplicando isso ao nosso número, escrevemos a soma dos termos ponderados:
403,12_{5}=4\cdot 5^{2}+0\cdot 5^{1}+3\cdot 5^{0}+1\cdot 5^{-1}+2\cdot 5^{-2}.
Aqui cada coeficiente é o dígito correspondente e 5^{k} é o peso da posição.

Passo 3

Calculemos as potências de \,5 necessárias (vamos mostrar tudo para você poder reproduzir na prova sem erro):
5^{2}=25,\qquad 5^{1}=5,\qquad 5^{0}=1,\qquad 5^{-1}=\frac{1}{5},\qquad 5^{-2}=\frac{1}{25}.

Passo 4

Agora multiplicamos cada dígito pelo seu peso e somamos a parte inteira (mostrando cada produto):
4\cdot 5^{2}=4\cdot 25=100,
0\cdot 5^{1}=0\cdot 5=0,
3\cdot 5^{0}=3\cdot 1=3.
Somando a parte inteira:
100+0+3=103.
Então a parte inteira em base decimal é 103.

Passo 5

Calculamos a parte fracionária, multiplicando os dígitos pelos pesos negativos:
1\cdot 5^{-1}=1\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{5},
2\cdot 5^{-2}=2\cdot \frac{1}{25}=\frac{2}{25}.
Somando as frações com denominador comum 25:
\frac{1}{5}+\frac{2}{25}=\frac{5}{25}+\frac{2}{25}=\frac{7}{25}.

Passo 6

Convertemos a fração \frac{7}{25} para decimal: como 25\cdot 0,28=7, temos
\frac{7}{25}=0,28.
Portanto a parte fracionária em decimal é 0,28.

Passo 7

Somamos a parte inteira 103 com a parte fracionária 0,28:
103+0,28=103,28.
Também dá para apresentar o número como fração única se quiser: 103+\frac{7}{25}=\frac{2582}{25}, mas para a prova o formato decimal \,103,28_{10}\, é claro e direto.

Resposta

x=103,28_{10}

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