Multiplica-se F por \beta e toma-se a parte inteira do produto como o primeiro dígito do número na base \beta. Repete-se o processo com a parte fracionária do produto tomando sua parte inteira. Continua-se até que a parte fracionária seja igual a zero.
Nos exercícios a seguir, determinar o valor de x : 0,6_{10}=X_{2}.
Passo 1
O enunciado pede: converter 0,6_{10} (ou seja, 0{,}6 na base decimal) para a base 2, isto é encontrar X_2 tal que
0,6_{10}=X_2.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e que usaremos:
A regra dada: multiplicar a parte fracionária F por \beta=2; a parte inteira do produto é o próximo dígito na base 2; repetir com a parte fracionária restante até que ela seja zero ou que os restos comecem a repetir.
Para evitar aproximações decimais, vou trabalhar com a fração racional equivalente de 0{,}6: 0{,}6 = \dfrac{3}{5}.
Objetivo prático: aplicar multiplicações sucessivas por 2 e anotar as partes inteiras obtidas.
Passo 2
Explico de forma didática o método (aula curta): seja f_0 a parte fracionária inicial (aqui f_0=\dfrac{3}{5}). Em cada etapa k fazemos
t_k = 2\cdot f_{k-1},
onde d_k=\lfloor t_k\rfloor é o k-ésimo dígito binário após a vírgula, e a nova parte fracionária é
f_k = t_k - d_k = 2\cdot f_{k-1} - d_k.
Se algum f_k=0 o desenvolvimento termina (expansão finita). Se algum f_k repetir um valor anterior, os dígitos entre as repetições formam um ciclo e a expansão é periódica (repetitiva). No nosso caso f_0=\dfrac{3}{5} é racional; em geral, frações com denominador na forma 2^m têm expansão binária finita; outras frações racionais terão expansão periódica.
Passo 3
Começo os cálculos exatos com frações (sem arredondamento). Etapa 1:
Observe que f_4=\dfrac{3}{5}=f_0: a parte fracionária voltou ao valor inicial, isto é, os restos repetiram. Isso indica que os dígitos obtidos d_1,d_2,d_3,d_4 formam um bloco periódico que se repete infinitamente.
Passo 7
Lendo os dígitos obtidos em ordem: d_1=1, d_2=0, d_3=0, d_4=1. Como ao fim da quarta etapa a parte fracionária retornou ao início, o bloco 1001 se repete infinitamente. Portanto a expansão binária é periódica com período de 4 dígitos:
0,6_{10} = 0,\overline{1001}_2.
Comentário final curto sobre interpretação: a repetição ocorreu porque \dfrac{3}{5} em forma irreduzível tem denominador 5, que não é potência de 2; logo a expansão em base 2 não termina, mas repete.