Transforme para a base que se pede (determine o valor de x ).
19,38671875_{10}=x_{4}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar x tal que
19,38671875_{10} = x_{4}.
Informações dadas:
  • A representação em base decimal é 19,38671875_{10}.
  • Parte inteira: 19.
  • Parte fracionária: 0,38671875.
    A tarefa é converter tanto a parte inteira quanto a parte fracionária de base 10 para base 4 e juntar os resultados.

Passo 2

Vamos converter a parte inteira 19 para base 4 usando o método das divisões sucessivas (dividir por 4 e anotar os restos). Regra: para um número inteiro N em base 10, dividimos por b (a base desejada) repetidamente; os restos, lidos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro), formam os dígitos em base b.
Fazendo as divisões por 4:
19 \div 4 = 4 \text{ com resto } 3.
4 \div 4 = 1 \text{ com resto } 0.
1 \div 4 = 0 \text{ com resto } 1.
Lemos os restos de baixo para cima: 1,0,3. Portanto a parte inteira em base 4 é \,103_{4}.
Explicação rápida do porquê: 103_{4} representa
1\cdot 4^{2} + 0\cdot 4^{1} + 3\cdot 4^{0} = 16 + 0 + 3 = 19,
confirmando que a conversão está correta.

Passo 3

Agora convertemos a parte fracionária 0,38671875 para base 4. Dois caminhos: (A) método das multiplicações sucessivas; (B) reconhecer que a fracionária é uma fração com denominador que é potência de 4 e converter diretamente. Vou mostrar os dois porque ambos ajudam na prova.
Primeiro, reconhecendo a fração exata: multiplicamos por 256 porque 256 é uma potência de 2 e também de 4:
0,38671875 \times 256 = 99.
Logo
0,38671875 = \frac{99}{256}.
Como 256 = 4^{4}, isso significa que a expansão em base 4 termina em, no máximo, 4 dígitos fracionários (pois denominador é 4^{4}). Ou seja, a parte fracionária terá até quatro casas em base 4.

Passo 4

Agora aplicamos o método das multiplicações sucessivas por 4 (que dá os dígitos fracionários, um a um): multiplicamos a parte fracionária por 4, o inteiro da multiplicação é o próximo dígito; repetimos com a nova parte fracionária.
Começamos com 0,38671875:
0,38671875 \times 4 = 1,546875 \quad\Rightarrow\quad\text{dígito }1,\;\text{resto }0,546875.í
0,546875 \times 4 = 2,1875 \quad\Rightarrow\quad\text{dígito }2,\;\text{resto }0,1875.í
0,1875 \times 4 = 0,75 \quad\Rightarrow\quad\text{dígito }0,\;\text{resto }0,75.í
0,75 \times 4 = 3,0 \quad\Rightarrow\quad\text{dígito }3,\;\text{resto }0.í
Como o resto ficou 0, a expansão terminou. Os dígitos fracionários em ordem são 1,2,0,3. Assim a parte fracionária em base 4 é \, ,1203_{4} (vírgula separando a parte inteira da fracionária, seguindo a notação do enunciado).

Passo 5

Juntando parte inteira e fracionária obtemos
x = 103,1203_{4}.
Vou fazer uma verificação rápida convertendo de volta para decimal para ficar seguro:
  • Parte inteira:
1\cdot 4^{2} + 0\cdot 4^{1} + 3\cdot 4^{0} = 16 + 0 + 3 = 19.
  • Parte fracionária:
1\cdot 4^{-1} + 2\cdot 4^{-2} + 0\cdot 4^{-3} + 3\cdot 4^{-4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{16} + 0 + \frac{3}{256} = \frac{64 + 32 + 3}{256} = \frac{99}{256} = 0,38671875.
Somando dá 19,38671875_{10}, igual ao enunciado; portanto a conversão está correta.

Resposta

x = 103,1203_{4}

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