Transforme para a base que se pede (determine o valor de
).
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
tal que
Informações dadas:
- A representação em base decimal é
. - Parte inteira:
. - Parte fracionária:
.
A tarefa é converter tanto a parte inteira quanto a parte fracionária de basepara base e juntar os resultados.
Passo 2
Vamos converter a parte inteira
para base
usando o método das divisões sucessivas (dividir por
e anotar os restos). Regra: para um número inteiro
em base
, dividimos por
(a base desejada) repetidamente; os restos, lidos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro), formam os dígitos em base
.
Fazendo as divisões por
:
Lemos os restos de baixo para cima:
. Portanto a parte inteira em base
é
.
Explicação rápida do porquê:
representa
confirmando que a conversão está correta.
Passo 3
Agora convertemos a parte fracionária
para base
. Dois caminhos: (A) método das multiplicações sucessivas; (B) reconhecer que a fracionária é uma fração com denominador que é potência de
e converter diretamente. Vou mostrar os dois porque ambos ajudam na prova.
Primeiro, reconhecendo a fração exata: multiplicamos por
porque
é uma potência de
e também de
:
Logo
Como
, isso significa que a expansão em base
termina em, no máximo,
dígitos fracionários (pois denominador é
). Ou seja, a parte fracionária terá até quatro casas em base
.
Passo 4
Agora aplicamos o método das multiplicações sucessivas por
(que dá os dígitos fracionários, um a um): multiplicamos a parte fracionária por
, o inteiro da multiplicação é o próximo dígito; repetimos com a nova parte fracionária.
Começamos com
:
Como o resto ficou
, a expansão terminou. Os dígitos fracionários em ordem são
. Assim a parte fracionária em base
é
(vírgula separando a parte inteira da fracionária, seguindo a notação do enunciado).
Passo 5
Juntando parte inteira e fracionária obtemos
Vou fazer uma verificação rápida convertendo de volta para decimal para ficar seguro:
- Parte inteira:
- Parte fracionária:
Somando dá
, igual ao enunciado; portanto a conversão está correta.