Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=9.
8^-1

Passo 1

O enunciado pede o inverso multiplicativo de 8 no anel Z9. Para isso, precisamos usar o fato de que um elemento a em Zn tem inverso se, e somente se, gcd(a,n)=1, e então resolver a congruência
a,x equiv 1 pmodn

Passo 2

Verificamos o máximo divisor comum entre 8 e 9:
gcd(8,9)=1,
logo 8 é invertível módulo 9.

Passo 3

Para achar x tal que
8xequiv1pmod9,
notamos que 8equiv -1pmod9. Assim
(-1),xequiv1pmod9 Longrightarrow xequiv -1equiv8pmod9

Resposta

8^-1equiv8pmod9

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