Na multiplicação módulo n (onde n é um número natural maior que 1 ), o 1 é o elemento neutro, mas em geral nem todo elemento tem inverso (multiplicativo).
Determine os seguintes inversos quando n=11.
5^-1

Passo 1

O enunciado quer que a gente ache o inverso de 5 na multiplicação módulo 11, ou seja, um inteiro x tal que
5x equiv 1 pmod11
Como gcd(5,11)=1, esse inverso existe. Vamos usar o Algoritmo de Euclides Estendido para encontrá-lo.

Passo 2

Aplicando o Algoritmo de Euclides em 11 e 5, temos:
11 = 2 cdot 5 + 1 Longrightarrow 1 = 11 - 2cdot5
Isso mostra que
(-2)cdot5 + 1cdot11 = 1
Em módulo 11, a parte com 11 some, ficando
(-2)cdot5 equiv 1 pmod11

Passo 3

Portanto, é um inverso de em . Como geralmente escolhemos representantes entre e , somamos a :
Logo também satisfaz .

Resposta

O inverso de 5 módulo 11 é 9.

Exercícios relacionados